20.20 задача 9 клас алгебра 2 часть

Конечно, давайте разберем задачу 20.20.

Задача: Найдите значение \(\sin x\), если \(\sin x – \sqrt{3} \cos x = 1\).

Решение:

1. Уравнение: \(\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1\).

2. Представим в виде: \(a \sin x + b \cos x = c\), где \(a = 1\), \(b = -\sqrt{3}\), \(c = 1\).

3. Решим уравнение: \[ R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2. \]

   Следовательно, уравнение перепишется как: \[ 2\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 1. \]

4. Используйте известное преобразование: \[ \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \cos (\pi/3) \sin x - \sin (\pi/3) \cos x = \sin(x - \pi/3). \]

5. Подставьте обратно: \[ 2\sin(x - \pi/3) = 1 \implies \sin(x - \pi/3) = \frac{1}{2}. \]

6. Решите уравнение \(\sin(x - \pi/3) = \frac{1}{2}\): \[ x - \pi/3 = \pi/6 + 2\pi k \quad \text{или} \quad x - \pi/3 = 5\pi/6 + 2\pi k. \]

7. Найдите \(x\): \[ x = \pi/2 + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = 3\pi/2 + 2\pi k. \]

Таким образом, возможные значения \(\sin x\) для решений \(x\) будут:

• Для \(x = \pi/2 + 2\pi k\), \(\sin x = 1\).
• Для \(x = 3\pi/2 + 2\pi k\), \(\sin x = -1\).

Таким образом, в зависимости от \(\cos x\), которое можно проверить с помощью условия, значение \(\sin x\) будет зависеть от конкретного решения.