Обозначим гипотенузу треугольника как ( c ), больший катет как ( a ), а меньший катет как ( b ).
В прямоугольном треугольнике с углом ( 60^\circ ):
- Гипотенуза ( c ) связана с меньшим катетом ( b ) следующим образом: ( b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ).
- Гипотенуза ( c ) связана с большим катетом ( a ): ( a = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} ).
Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см, то есть:
[
c + b = 26,4
]
Подставим выражение для ( b ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4
]
Теперь вынесем ( c ) за скобки:
[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26,4
]
Теперь выразим ( c ):
[
c = \frac{26,4}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Теперь посчитаем ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1 + 0,866 \approx 1,866
]
Теперь можем посчитать ( c ):
[
c \approx \frac{26,4}{1,866} \approx 14,14 \text{ см}
]
Таким образом, гипотенуза треугольника примерно равна ( 14,14 ) см.
