Для нахождения угла между векторами (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) можно использовать формулу:
[
\cos \theta = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|}
]
где (\theta) — угол между векторами, (\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}) — скалярное произведение векторов, а (|\mathbf{m}|) и (|\mathbf{n}|) — длины векторов.
Дано:
[
\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{n} = \begin{pmatrix} d \ 3 \end{pmatrix}
]
Сначала найдем скалярное произведение (\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}):
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot d + 4 \cdot 3 = d + 12
]
Теперь найдем длины векторов (|\mathbf{m}|) и (|\mathbf{n}|):
[
|\mathbf{m}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
]
[
|\mathbf{n}| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9}
]
Теперь подставим ( \theta = 45^\circ ) (где (\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}})) в уравнение:
[
\frac{d + 12}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Можно подставить длины векторов:
[
\frac{d + 12}{\sqrt{17} \sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Теперь упростим уравнение, перемножив крест-накрест:
[
(d + 12) \sqrt{2} = \sqrt{17} \sqrt{d^2 + 9}
]
Теперь, чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны в квадрат:
[
2(d + 12)^2 = 17(d^2 + 9)
]
Теперь раскроем скобки:
[
2(d^2 + 24d + 144) = 17d^2 + 153
]
Запишем уравнение:
[
2d^2 + 48d + 288 = 17d^2 + 153
]
Переносим все на одну сторону:
[
0 = 17d^2 - 2d^2 - 48d + 153 - 288
]
[
0 = 15d^2 - 48d - 135
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Дискриминант (D) равен:
[
D = (-48)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-135) = 2304 + 8100 = 10404
]
Теперь находим корни:
[
d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{10404}}{30}
]
Сначала найдем (\sqrt{10404} = 102):
[
d = \frac{48 \pm 102}{30}
]
Теперь вычислим оба корня:
[
d_1 = \frac{150}{30} = 5
]
[
d_2 = \frac{-54}{30} = -1.8
]
Таким образом, возможные значения (d), при которых угол между векторами равен (45^\circ), это (d = 5) и (d = -1.8).
