При каком значении переменной d d угол между векторами m → m и n → n равен 45 ° 45° , если m → { 1 ; 4 } m {1;4} и n → { d ; 3 } n {d;3} ?

Для нахождения угла между векторами \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) можно использовать формулу:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|} \]

где \(\theta\) — угол между векторами, \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{m}|\) и \(|\mathbf{n}|\) — длины векторов.

Дано:

\[ \mathbf{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{n} = \begin{pmatrix} d \\ 3 \end{pmatrix} \]

Сначала найдем скалярное произведение \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}\):

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot d + 4 \cdot 3 = d + 12 \]

Теперь найдем длины векторов \(|\mathbf{m}|\) и \(|\mathbf{n}|\):

\[ |\mathbf{m}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

\[ |\mathbf{n}| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9} \]

Теперь подставим \( \theta = 45^\circ \) (где \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)) в уравнение:

\[ \frac{d + 12}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Можно подставить длины векторов:

\[ \frac{d + 12}{\sqrt{17} \sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь упростим уравнение, перемножив крест-накрест:

\[ (d + 12) \sqrt{2} = \sqrt{17} \sqrt{d^2 + 9} \]

Теперь, чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны в квадрат:

\[ 2(d + 12)^2 = 17(d^2 + 9) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 2(d^2 + 24d + 144) = 17d^2 + 153 \]

Запишем уравнение:

\[ 2d^2 + 48d + 288 = 17d^2 + 153 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 0 = 17d^2 - 2d^2 - 48d + 153 - 288 \] \[ 0 = 15d^2 - 48d - 135 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) равен:

\[ D = (-48)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-135) = 2304 + 8100 = 10404 \]

Теперь находим корни:

\[ d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{10404}}{30} \]

Сначала найдем \(\sqrt{10404} = 102\):

\[ d = \frac{48 \pm 102}{30} \]

Теперь вычислим оба корня:

\[ d_1 = \frac{150}{30} = 5 \] \[ d_2 = \frac{-54}{30} = -1.8 \]

Таким образом, возможные значения \(d\), при которых угол между векторами равен \(45^\circ\), это \(d = 5\) и \(d = -1.8\).