Для решения уравнения ( x - \frac{1}{x} = \frac{80}{9} ), давайте сначала избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на ( x ) (где ( x \neq 0 )):
[
x^2 - 1 = \frac{80}{9} x
]
Приведем все к одному уравнению:
[
x^2 - \frac{80}{9} x - 1 = 0
]
Умножим все на 9, чтобы избавиться от дробей:
[
9x^2 - 80x - 9 = 0
]
Теперь можем применить формулу корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 9 ), ( b = -80 ), ( c = -9 ).
Сначала вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-9)
]
[
D = 6400 + 324 = 6724
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{80 \pm \sqrt{6724}}{18}
]
Вычислим ( \sqrt{6724} = 82 ):
[
x = \frac{80 \pm 82}{18}
]
Теперь найдём два корня:
- ( x_1 = \frac{162}{18} = 9 )
- ( x_2 = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9} )
Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = 9 ) и ( x_2 = -\frac{1}{9} ).
