Обозначим длину прямоугольника как ( l ) (length) и ширину как ( w ) (width).
По условию задачи мы знаем два уравнения:
Периметр прямоугольника:
[
2l + 2w = 22
]
Упрощаем уравнение:
[
l + w = 11 \quad (1)
]
Площадь прямоугольника:
[
l \cdot w = 24 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений.
Из уравнения (1) выразим ( w ):
[
w = 11 - l
]
Подставим это выражение в уравнение (2):
[
l \cdot (11 - l) = 24
]
Раскроем скобки:
[
11l - l^2 = 24
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
l^2 - 11l + 24 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
l = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 5}{2}
]
Решения:
[
l_1 = \frac{16}{2} = 8
]
[
l_2 = \frac{6}{2} = 3
]
Теперь подставим значения ( l ) обратно в уравнение (1) для нахождения ( w ):
Если ( l = 8 ):
[
w = 11 - 8 = 3
]
Если ( l = 3 ):
[
w = 11 - 3 = 8
]
Таким образом, длины сторон прямоугольника: 8 см и 3 см.
