Давайте поочередно решим задачи, которые вы поставили.
3. Постройте график функции f(x) = x^2 - 4x + 33
- Область значений функции:
Функция ( f(x) = x^2 - 4x + 33 ) является квадратичной. Чтобы определить область значений, найдем вершину параболы, так как она открыта вверх (коэффициент при ( x^2 ) положителен).
Вершина параболы находится по формуле:
[
x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2
]
Подставляем ( x_v ) в функцию, чтобы найти значение ( f(x_v) ):
[
f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 33 = 4 - 8 + 33 = 29
]
Таким образом, область значений:
[
\text{Область значений } f(x) \text{ — } [29, +\infty)
]
Промежуток убывания функции:
Функция убывает на промежутке ( (-\infty, x_v) ) — это ( (-\infty, 2) ).
Множество решений неравенства f(x) < 0:
Поскольку минимальное значение функции равно 29, неравенство ( f(x) < 0 ) не имеет решений.
4. Постройте график функций:
( f(x) = \sqrt{x} + 1 ):
Область определения: ( x \geq 0 ).
Значения функции: От 1 и выше, поскольку при ( x = 0 ) ( f(0) = 1 ).
( f(x) = \sqrt{x + 1} ):
Область определения: ( x \geq -1 ).
Значения функции: От 0 и выше, ( f(-1) = 0 ).
5. Найдите область определения функции
( f(x) = \sqrt{x - 2} + \frac{7}{x^2 - 16} ):
- Для ( \sqrt{x - 2} ): ( x - 2 \geq 0 ) ⇒ ( x \geq 2 ).
- Для ( \frac{7}{x^2 - 16} ): ( x^2 - 16 \neq 0 ) ⇒ ( x \neq 4 ) и ( x \neq -4 ).
Таким образом, область определения:
[
D = [2, 4) \cup (4, +\infty)
]
6. Вершина параболы
Для параболы ( y = 2x^2 + bx + c ), вершина находится в точке:
[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{4}
]
Если вершина параболы должна находиться в точке (-3, -2), то:
[
-\frac{b}{4} = -3 \implies b = 12
]
Теперь подставим в уравнение вершины:
[
y_v = 2(-3)^2 + 12(-3) + c = -2
]
[
18 - 36 + c = -2 \implies c = 16
]
Итак, ( b = 12 ) и ( c = 16 ).
Если будут нужны дополнительные разъяснения или графики, дайте знать!
