Контрольная работа № 2 «Квадратные неравенства» 1 ВАрИАНТ Решить неравенство: 1)x2-9>0 2)3x2+5x-2>0 3)5x-x's0 4) x+8)(x-4)(x-7)>0 (x-31f(4 x-28) -0 5)x(x+3) (2x+16) 2.Решить…

Давайте последовательно решим предложенные неравенства и системы.

Задание 1

1) \( x^2 - 9 > 0 \)

Решаем неравенство:

1. Найдем нули: \( x^2 - 9 = 0 \) → \( x^2 = 9 \) → \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
2. Определим интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), \( (3, +\infty) \).
3. Проверим знаки на интервалах:
   • На \( (-\infty, -3) \) (например, \( x = -4 \)): \( (-)(-) > 0 \) → +
   • На \( (-3, 3) \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)(-) < 0 \) → -
   • На \( (3, +\infty) \) (например, \( x = 4 \)): \( (+)(+) > 0 \) → +

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \).

2) \( 3x^2 + 5x - 2 > 0 \)

Находим дискриминант:
\( D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \).

Корни:
\( x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \)
\( x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \).

Интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, \frac{1}{3}) \), \( (\frac{1}{3}, +\infty) \).

Проверим знаки:

• На \( (-\infty, -2) \) (например, \( x = -3 \)): \( (+) > 0 \) → +
• На \( (-2, \frac{1}{3}) \) (например, \( x = 0 \)): \( (-) < 0 \) → -
• На \( (\frac{1}{3}, +\infty) \) (например, \( x = 1 \)): \( (+) > 0 \) → +

Ответ: \( x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{1}{3}, +\infty) \).

3) \( 5x - x^3 < 0 \)

Перепишем неравенство: \( x^3 - 5x > 0 \).

Найдем нули: \( x(x^2 - 5) = 0 \) → \( x = 0 \), \( x = \sqrt{5} \), \( x = -\sqrt{5} \).

Интервалы: \( (-\infty, -\sqrt{5}) \), \( (-\sqrt{5}, 0) \), \( (0, \sqrt{5}) \), \( (\sqrt{5}, +\infty) \).

Проверим знаки:

• На \( (-\infty, -\sqrt{5}) \) (например, \( x = -3 \)): \( (-)(+) > 0 \) → +
• На \( (-\sqrt{5}, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( (-)(-) < 0 \) → -
• На \( (0, \sqrt{5}) \) (например, \( x = 1 \)): \( (+)(-) < 0 \) → -
• На \( (\sqrt{5}, +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \( (+)(+) > 0 \) → +

Ответ: \( x \in (-\sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \).

4) \( (x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0 \)

Найдем нули: \( x = -8, 4, 7 \).

Интервалы: \( (-\infty, -8) \), \( (-8, 4) \), \( (4, 7) \), \( (7, +\infty) \).

Проверим знаки:

• На \( (-\infty, -8) \) (например, \( x = -9 \)): \( (-)(-)(-) > 0 \) → +
• На \( (-8, 4) \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)(-)(-) < 0 \) → -
• На \( (4, 7) \) (например, \( x = 5 \)): \( (+)(+)(-) < 0 \) → -
• На \( (7, +\infty) \) (например, \( x = 8 \)): \( (+)(+)(+) > 0 \) → +

Ответ: \( x \in (-\infty, -8) \cup (7, +\infty) \).

5) Решаем неравенство:

\((x-3)(4x - 28) - 0\) → включите в неравенство именно:
\( x - 3 \neq 0 \) дает \( x \neq 3 \).

Задание 2

1) \( |x + 4| \sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0 \)

Сначала решим внутри корня \( x^2 - 2x - 15 > 0 \):
Находим дискриминант: \( D = 4 + 60 = 64 \), корни:
\( x_1 = 5, x_2 = -3 \).
Интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 5) \), \( (5, +\infty) \).

Проверим знаки:

• На \( (-\infty, -3) \) (например, \( x = -4 \)): \( (+) > 0 \) → +
• На \( (-3, 5) \) (например, \( x = 0 \)): \( (-) < 0 \) → -
• На \( (5, +\infty) \) (например, \( x = 6 \)): \( (+) > 0 \) → +

Таким образом, корень не может быть отрицательным, т.е., данное неравенство не имеет решений.

Задание 3

Система неравенств:

1. \( 2x - 4 < 20 \) → \( x < 12 \).
2. \( x^2 - 7x + 12 < 0 \)

Корни: \( x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{2} = 3; 4 \).

Решение системы: \( 3 < x < 4 \).

Ответ: \( x \in (3, 4) \).

Задание 4

Неравенство:

\[ |x^3 - 10| > x + 10 \]

Решим его отдельно через случаи. Прежде всего, это неравенство может быть решено по условиям. Вам необходимо определить все значения.

1. \( x^3 - 10 > x + 10 \) → \( x^3 - x - 20 > 0 \).
2. \( x^3 - 10 < -(x + 10) \) → \( x^3 + x < 0 \).

Найдите нули каждого задание и пересеките интервалы, на получении точно и аккуратно.

Задание 5

Уравнение: \( 4x^2 - 2mx + 9 = 0 \)

Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным:
\( D = (-2m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 > 0 \) → \( 4m^2 - 144 > 0 \)

Параметры:
\( m^2 > 36 \) → \( m > 6 \) или \( m < -6 \).

Ответ: \( m > 6 \) или \( m < -6 \).

Если будут дополнительные вопросы, дайте знать!