Для решения задачи будем использовать закон сохранения энергии и формулы для работы и теплоты при изменении внутренней энергии газа.
Дано:
- Количество теплоты, переданное воздуху, ( Q = 5 \text{ кДж} = 5000 \text{ Дж} )
- Удельная теплоёмкость при постоянном давлении ( c_p = 103 \text{ Дж/(кг·К)} )
- Молярная масса воздуха ( M = 29 \text{ г/моль} = 0.029 \text{ кг/моль} )
Работа, совершаемая газом при нагревании, при постоянном давлении определяется формулой:
[
A = Q - \Delta U
]
где ( A ) — работа, ( Q ) — количество подведенного тепла, ( \Delta U ) — изменение внутренней энергии.
Посчитаем изменение внутренней энергии, используя формулу:
[
\Delta U = n c_v \Delta T
]
Сначала найдем количество вещества ( n ) в молях. Мы можем использовать массу, характерную для 1 моль воздуха:
[
n = \frac{m}{M} = \frac{m}{0.029 \text{ кг}}.
]
Теперь, учитывая, что при постоянном давлении:
[
\Delta T = \frac{Q}{n c_p}.
]
Сначала найдем ( n ):
- Общая формула для работы при нагреве:
[
A = Q - n c_v \Delta T = Q - n c_v \left(\frac{Q}{n c_p}\right).
]
- Изменение внутренней энергии также связано с теплоёмкостью при постоянном объеме ( c_v ). Известно, что
(
c_p = c_v + R,
)
где ( R ) — универсальная газовая постоянная (около ( 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} )).
Таким образом,
[
c_v = c_p - R.
]
Теперь подставим известные значения:
[
R = 8.31 \text{ Дж/(моль·К)},
]
[
c_v = 103 \text{ Дж/(кг·К)} - 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \approx 103 \text{ Дж/(кг·К)} - \frac{8.31}{0.029} \approx 103 - 286.2 \approx 6 \text{ Дж/(кг·К)}.
]
Теперь можем использовать это для нахождения работы:
- Нахождение работы:
[
A = Q \left(1 - \frac{c_v}{c_p}\right).
]
- Подставим известные данные:
[
A = 5000 \text{ Дж} \left(1 - \frac{6}{103}\right) \approx 5000 \text{ Дж} \cdot (1 - 0.0583) \approx 5000 \cdot 0.9417 \approx 4708.5 \text{ Дж}.
]
Таким образом, работа, совершённая воздухом, составляет примерно:
[
A \approx 4708.5 \text{ Дж}.
]
