В цилиндре под поршнем находится воздух. На его нагревание придитоянном давлении затрачено количество теплоты, равное 5 кДж. Опредлите работу, совершённую при этом воздухом.…

Для решения задачи будем использовать закон сохранения энергии и формулы для работы и теплоты при изменении внутренней энергии газа.

Дано:

• Количество теплоты, переданное воздуху, \( Q = 5 \text{ кДж} = 5000 \text{ Дж} \)
• Удельная теплоёмкость при постоянном давлении \( c_p = 103 \text{ Дж/(кг·К)} \)
• Молярная масса воздуха \( M = 29 \text{ г/моль} = 0.029 \text{ кг/моль} \)

Работа, совершаемая газом при нагревании, при постоянном давлении определяется формулой:

\[ A = Q - \Delta U \]

где \( A \) — работа, \( Q \) — количество подведенного тепла, \( \Delta U \) — изменение внутренней энергии.

Посчитаем изменение внутренней энергии, используя формулу:

\[ \Delta U = n c_v \Delta T \]

Сначала найдем количество вещества \( n \) в молях. Мы можем использовать массу, характерную для 1 моль воздуха:

\[ n = \frac{m}{M} = \frac{m}{0.029 \text{ кг}}. \]

Теперь, учитывая, что при постоянном давлении:

\[ \Delta T = \frac{Q}{n c_p}. \]

Сначала найдем \( n \):

1. Общая формула для работы при нагреве:

\[ A = Q - n c_v \Delta T = Q - n c_v \left(\frac{Q}{n c_p}\right). \]

2. Изменение внутренней энергии также связано с теплоёмкостью при постоянном объеме \( c_v \). Известно, что

\( c_p = c_v + R, \)

где \( R \) — универсальная газовая постоянная (около \( 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \)).

Таким образом,

\[ c_v = c_p - R. \]

Теперь подставим известные значения:

\[ R = 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}, \] \[ c_v = 103 \text{ Дж/(кг·К)} - 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \approx 103 \text{ Дж/(кг·К)} - \frac{8.31}{0.029} \approx 103 - 286.2 \approx 6 \text{ Дж/(кг·К)}. \]

Теперь можем использовать это для нахождения работы:

1. Нахождение работы:

\[ A = Q \left(1 - \frac{c_v}{c_p}\right). \]

2. Подставим известные данные:

\[ A = 5000 \text{ Дж} \left(1 - \frac{6}{103}\right) \approx 5000 \text{ Дж} \cdot (1 - 0.0583) \approx 5000 \cdot 0.9417 \approx 4708.5 \text{ Дж}. \]

Таким образом, работа, совершённая воздухом, составляет примерно:

\[ A \approx 4708.5 \text{ Дж}. \]