Чтобы решить уравнение ((x^2 - 8x)(x^2 - 8x - 6) = 280), начнем с введения новой переменной.
Обозначим:
(y = x^2 - 8x).
Тогда наше уравнение можно переписать как:
[
y(y - 6) = 280.
]
Раскроем скобки:
[
y^2 - 6y - 280 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156.
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{6 \pm 34}{2}.
]
Это дает нам два корня:
[
y_1 = \frac{40}{2} = 20,
]
[
y_2 = \frac{-28}{2} = -14.
]
Теперь вернемся к нашему выражению для (y):
- (y = x^2 - 8x = 20)
- (y = x^2 - 8x = -14)
Решим первое уравнение:
[
x^2 - 8x - 20 = 0.
]
Решим его с помощью дискриминанта:
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144.
]
Корни:
[
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}.
]
Это дает нам:
[
x_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2.
]
Теперь решим второе уравнение:
[
x^2 - 8x + 14 = 0.
]
Рассчитаем дискриминант:
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 64 - 56 = 8.
]
Корни:
[
x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}.
]
Таким образом, все корни уравнения ((x^2 - 8x)(x^2 - 8x - 6) = 280) будут:
[
x_1 = 10, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 4 + \sqrt{2}, \quad x_4 = 4 - \sqrt{2}.
]
