Найдите все корни уравнения (x ^ 2 - 8x)(x ^ 2 - 8x - 6) = 280
Чтобы решить уравнение \((x^2 - 8x)(x^2 - 8x - 6) = 280\), начнем с введения новой переменной.
Обозначим: \(y = x^2 - 8x\).
Тогда наше уравнение можно переписать как: \[ y(y - 6) = 280. \] Раскроем скобки: \[ y^2 - 6y - 280 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156. \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{6 \pm 34}{2}. \] Это дает нам два корня: \[ y_1 = \frac{40}{2} = 20, \] \[ y_2 = \frac{-28}{2} = -14. \]
Теперь вернемся к нашему выражению для \(y\):
- \(y = x^2 - 8x = 20\)
- \(y = x^2 - 8x = -14\)
Решим первое уравнение: \[ x^2 - 8x - 20 = 0. \] Решим его с помощью дискриминанта: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144. \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}. \] Это дает нам: \[ x_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2. \]
Теперь решим второе уравнение: \[ x^2 - 8x + 14 = 0. \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 64 - 56 = 8. \] Корни: \[ x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}. \]
Таким образом, все корни уравнения \((x^2 - 8x)(x^2 - 8x - 6) = 280\) будут: \[ x_1 = 10, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 4 + \sqrt{2}, \quad x_4 = 4 - \sqrt{2}. \]
