Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как Ваня отвечает на каждую задачу независимо и с фиксированной вероятностью успеха.
Пусть ( X ) — количество правильно решенных задач. Здесь ( n = 55 ), ( p = \frac{1}{4} ) и ( k ) — количество правильно решенных задач. Мы ищем вероятность того, что ( X \geq 2 ).
Сначала найдем вероятность того, что Ваня решит 0 или 1 задачу:
Вероятность того, что Ваня решит 0 задач:
[
P(X = 0) = \binom{55}{0} \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^{55} = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{55} = \left(\frac{3}{4}\right)^{55}
]
Вероятность того, что Ваня решит 1 задачу:
[
P(X = 1) = \binom{55}{1} \left( \frac{1}{4} \right)^1 \left( \frac{3}{4} \right)^{54} = 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{54}
]
Теперь складываем найденные вероятности:
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \left(\frac{3}{4}\right)^{55} + 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{54}
]
После этого можем найти вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, то есть ( P(X \geq 2) ):
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \left[ \left(\frac{3}{4}\right)^{55} + 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{54} \right]
]
Теперь подставим значения и проработаем численные расчеты:
- Вычисляем ( \left(\frac{3}{4}\right)^{55} )
- Вычисляем ( 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{54} )
И затем складываем результаты. В итоге вычислим ( P(X \geq 2) ).
Следовательно, чтобы получить окончательный ответ, необходимо найти точные значения, после чего выразить итоговую вероятность.
При необходимости, можете использовать калькулятор или программное обеспечение для выполнения этих вычислений.
