В годовой контрольной работе 55 задач, в каждой из которых 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 задания. Ваня плохо…

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как Ваня отвечает на каждую задачу независимо и с фиксированной вероятностью успеха.

Пусть \( X \) — количество правильно решенных задач. Здесь \( n = 55 \), \( p = \frac{1}{4} \) и \( k \) — количество правильно решенных задач. Мы ищем вероятность того, что \( X \geq 2 \).

Сначала найдем вероятность того, что Ваня решит 0 или 1 задачу:

1. Вероятность того, что Ваня решит 0 задач: \[ P(X = 0) = \binom{55}{0} \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^{55} = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{55} = \left(\frac{3}{4}\right)^{55} \]

2. Вероятность того, что Ваня решит 1 задачу: \[ P(X = 1) = \binom{55}{1} \left( \frac{1}{4} \right)^1 \left( \frac{3}{4} \right)^{54} = 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{54} \]

Теперь складываем найденные вероятности:

\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \left(\frac{3}{4}\right)^{55} + 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{54} \]

После этого можем найти вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, то есть \( P(X \geq 2) \):

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \left[ \left(\frac{3}{4}\right)^{55} + 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{54} \right] \]

Теперь подставим значения и проработаем численные расчеты:

1. Вычисляем \( \left(\frac{3}{4}\right)^{55} \)
2. Вычисляем \( 55 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{54} \)

И затем складываем результаты. В итоге вычислим \( P(X \geq 2) \).

Следовательно, чтобы получить окончательный ответ, необходимо найти точные значения, после чего выразить итоговую вероятность.

При необходимости, можете использовать калькулятор или программное обеспечение для выполнения этих вычислений.