Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу 3 или…

Давайте разберем каждое задание по очереди.

Задание 1:

Паша может выиграть в один ход, если после его хода количество камней станет больше 35. Поскольку он может добавлять 3 или 5 камней, нам нужно найти такие значения S, что:

• \( S + 3 > 35 \) или
• \( S + 5 > 35 \)

Решаем неравенства:

1. \( S + 3 > 35 \)
   \( S > 32 \) (данное значение не подходит, так как \( S < 33 \))

2. \( S + 5 > 35 \)
   \( S > 30 \) (данное значение также не подходит)

Таким образом, значения S, при которых Паша может выиграть в один ход, не существуют, потому что все возможные для Pasha допустимые \( S \) имеет ограничения 1 < S < 33.

Задание 2:

Теперь найдем значения, при которых Витя может выиграть первым ходом. Витя может выиграть, если после его хода количество камней станет больше 35. Он также может добавлять 3 или 5 камней:

1. \( S + 3 > 35 \rightarrow S > 32 \) (ничего не подходит)
2. \( S + 5 > 35 \rightarrow S > 30 \)

Таким образом, Витя может выиграть за одним из следующих значений:

• Если \( S = 31 \): добавляя 5 камней, он получит 36
• Если \( S = 32 \): добавляя 5 камней, он получит 37

Наименьшее значение, при котором Витя может выиграть первым ходом, это 31.

Задание 3:

Теперь найдем значения S, при которых Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом. Это значит, что:

1. Pasha не может выиграть за один ход (то есть \( S + 3 ≤ 35 \) и \( S + 5 ≤ 35 \)).
2. После хода Вити, Паша должен иметь возможность выиграть (то есть, после любого хода Вити он может сделать так, чтобы количество камней в итоге стало больше 35).

Начнём с первого условия:

1. \( S + 3 \leq 35 \) → \( S \leq 32 \)
2. \( S + 5 \leq 35 \) → \( S \leq 30 \)

Таким образом, Pasha может начинать только с S ≤ 30 (в пределах от 1 до 30). Теперь посмотрим на значения, с которых Витя может привести к ситуации, когда Паша потом сможет выиграть на второй ход:

Для каждое допустимое значение S:

• Если \( S = 29 \): Витя добавляет 3 (32) или 5 (34) - Витя не выигрывает.
• Если \( S = 28 \): Витя добавляет 3 (31) или 5 (33) - Витя также не может выиграть.
• Если \( S = 27 \): Витя добавляет 3 (30) или 5 (32) - снова не выигрывает.
• Если \( S = 26 \): Витя добавляет 3 (29) или 5 (31).
• Если \( S = 25 \): Витя добавляет 3 (28) или 5 (30).
• Если \( S = 24 \): Витя добавляет 3 (27) или 5 (29) - появляется вероятность для Паши.
• И так продолжаем считать далее…

После анализа, значения S, при которых Паша может выиграть на втором ходу, в массивах от 1 до 33:

• 24, 25, 26, 29

Таким образом, согласно всем условиям, мы имеем следующий ответ:

Итоги:

1. У Паши не существует возможностей выиграть за один ход.
2. Минимальное значение для Вити - 31.
3. Значения для Паши, при которых он не может выиграть на первом ходу, но может на втором - 24, 25, 26, 29.