Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу 3 или 5 камней. Игра заканчивается тогда, когда количество камней в куче становится больше 35. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 1 < S < 33. Задание 1. При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход? Укажи все такие значения и соответствующие ходы Паши. Задание 2. При каких значениях Витя может выиграть первым ходом, независимо от того, как ходит Паша? Если таких значений несколько, укажи наименьшее. Задание 3. При каких значениях Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом? Укажи все значения по возрастанию, без пробелов

Давайте разберем каждое задание по очереди. ### Задание 1: Паша может выиграть в один ход, если после его хода количество камней станет больше 35. Поскольку он может добавлять 3 или 5 камней, нам нужно найти такие значения S, что: - \( S + 3 > 35 \) или - \( S + 5 > 35 \) Решаем неравенства: 1. \( S + 3 > 35 \) \( S > 32 \) (данное значение не подходит, так как \( S < 33 \)) 2. \( S + 5 > 35 \) \( S > 30 \) (данное значение также не подходит) Таким образом, значения S, при которых Паша может выиграть в один ход, не существуют, потому что все возможные для Pasha допустимые \( S \) имеет ограничения 1 < S < 33. ### Задание 2: Теперь найдем значения, при которых Витя может выиграть первым ходом. Витя может выиграть, если после его хода количество камней станет больше 35. Он также может добавлять 3 или 5 камней: 1. \( S + 3 > 35 \rightarrow S > 32 \) (ничего не подходит) 2. \( S + 5 > 35 \rightarrow S > 30 \) Таким образом, Витя может выиграть за одним из следующих значений: - Если \( S = 31 \): добавляя 5 камней, он получит 36 - Если \( S = 32 \): добавляя 5 камней, он получит 37 Наименьшее значение, при котором Витя может выиграть первым ходом, это **31**. ### Задание 3: Теперь найдем значения S, при которых Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом. Это значит, что: 1. Pasha не может выиграть за один ход (то есть \( S + 3 ≤ 35 \) и \( S + 5 ≤ 35 \)). 2. После хода Вити, Паша должен иметь возможность выиграть (то есть, после любого хода Вити он может сделать так, чтобы количество камней в итоге стало больше 35). Начнём с первого условия: 1. \( S + 3 \leq 35 \) → \( S \leq 32 \) 2. \( S + 5 \leq 35 \) → \( S \leq 30 \) Таким образом, Pasha может начинать только с S ≤ 30 (в пределах от 1 до 30). Теперь посмотрим на значения, с которых Витя может привести к ситуации, когда Паша потом сможет выиграть на второй ход: Для каждое допустимое значение S: - Если \( S = 29 \): Витя добавляет 3 (32) или 5 (34) - Витя не выигрывает. - Если \( S = 28 \): Витя добавляет 3 (31) или 5 (33) - Витя также не может выиграть. - Если \( S = 27 \): Витя добавляет 3 (30) или 5 (32) - снова не выигрывает. - Если \( S = 26 \): Витя добавляет 3 (29) или 5 (31). - Если \( S = 25 \): Витя добавляет 3 (28) или 5 (30). - Если \( S = 24 \): Витя добавляет 3 (27) или 5 (29) - появляется вероятность для Паши. - И так продолжаем считать далее… После анализа, значения S, при которых Паша может выиграть на втором ходу, в массивах от 1 до 33: - **24, 25, 26, 29** Таким образом, согласно всем условиям, мы имеем следующий ответ: ### Итоги: 1. У Паши не существует возможностей выиграть за один ход. 2. Минимальное значение для Вити - 31. 3. Значения для Паши, при которых он не может выиграть на первом ходу, но может на втором - **24, 25, 26, 29**.