Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность попадания в корзину можно обозначить как ( p = 0,4 ), а вероятность промаха как ( q = 1 - p = 0,6 ).
Формула для расчета вероятности получения ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
- ( n ) — общее количество бросков.
- ( k ) — количество попаданий.
В нашем случае ( n = 6 ), ( k = 3 ), ( p = 0,4 ), ( q = 0,6 ).
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(6, 3) ):
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
]
- Теперь подставим все в формулу:
[
P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^{6-3}
]
[
P(X = 3) = 20 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^3
]
Теперь вычислим ( (0,4)^3 ) и ( (0,6)^3 ):
[
(0,4)^3 = 0,064
]
[
(0,6)^3 = 0,216
]
Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 3) = 20 \cdot 0,064 \cdot 0,216
]
Выполним умножения:
[
20 \cdot 0,064 = 1,28
]
[
1,28 \cdot 0,216 = 0,27648
]
Таким образом, вероятность того, что баскетболист попадёт в корзину ровно 3 раза, равна примерно ( 0,27648 ).
Если округлить до 4 знаков после запятой, то:
Ответ: 0,2765.
