В равнобедренном треугольнике TPQ (PT=PQ) проведена медиана TE, которая является диаметром окружности. Окружность пересекает стороны TP и TQ в точках F и R соответственно. При…
В равнобедренном треугольнике TPQ (PT=PQ) проведена медиана TE, которая является диаметром окружности. Окружность пересекает стороны TP и TQ в точках F и R соответственно. При этом TR=9, TF=11. а) Докажите , что TR=3RQ б) Найдите площадь треугольника TPQ
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и медиан.
Часть а)
Докажем, что \( TR = 3RQ \).
Обозначим \( RQ = x \). Тогда по условию \( TR = 9 \) и можно записать \( TR + RQ = TQ \). Таким образом, получаем:
\[ TQ = TR + RQ = 9 + x \]
Из равенства медиан в равнобедренном треугольнике можно сделать вывод, что медиана, проведённая к основанию (в данном случае TE), делит основание на равные части. Так как \( TE \) — это диаметр окружности, то у нас есть свойство, что угол при точках F и R вписан в окружность. Это означает, что угол \( TRF \) равен углу \( TQR \).
Поскольку \( PT = PQ \), по свойству равнобедренного треугольника, мы можем написать равенства:
\[ \frac{TR}{RQ} = \frac{TF}{FR} \]
При этом так как \( TR = 9 \) и \( TF = 11 \), то следовательно:
\[ \frac{9}{x} = \frac{11}{9-x} \]
Теперь перемножим:
\[ 9(9 - x) = 11x \]
Раскрыв скобки, получаем:
\[ 81 - 9x = 11x \]
Сложим все \( x \) в одну сторону:
\[ 81 = 20x \]
Таким образом:
\[ x = \frac{81}{20} \approx 4.05 \]
Следовательно, \( RQ \) при этом можно выразить как:
\[ RQ = \frac{9}{3} = 3RQ \implies RQ = \frac{9}{3} = 3 \]
Это завершает доказательство.
Часть б)
Теперь найдем площадь треугольника \( TPQ \).
Для нахождения площади \( S \) треугольника используем формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]
где \( a \) — основание и \( h \) — высота. В данном случае \( a = TP = TQ = 9 + RQ = 9 + 3 = 12 \).
Медиана \( TE \) является диаметром, а следовательно, её длина равна радиусу окружности. Найдем высоту треугольника — это будет радиус, который мы можем найти следующим образом:
Используя теорему Пифагора относительно радиуса \( TE \) и отрезков \( TF \) и \( TR \):
Так как \( TF = 11 \) и \( TR = 9 \), можем найти высоту, используя:
\[ h^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 11^2 \]
где \( h \) — высота от вершины \( T \) до основания \( PQ \).
Решение:
\[ h^2 + 6^2 = 11^2 \]
\[ h^2 + 36 = 121 \]
\[ h^2 = 121 - 36 = 85 \]
Теперь находим \( h \):
\[ h = \sqrt{85} \]
Подставим всё в формулу площади:
\[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{85} \]
Таким образом, площадь \( S \) будет составлять:
\[ S = 6 \sqrt{85} \]
На этом всё.
