Для решения задачи рассмотрим равновесие балки, которая опирается на пол и выступ, и удерживается верёвкой.
- Найти силу натяжения верёвки.
Грузоподъёмная сила, действующая на балку, равна весу балки:
[
W = mg = 120 , \text{кг} \cdot 9.81 , \text{м/с}^2 = 1177.2 , \text{Н}
]
Рассмотрим моменты относительно точки опоры (выступа). Сила натяжения верёвки ( T ) создаёт момент, который должен уравновесить момент от веса балки.
Момент от веса балки относительно выступа:
- Центр тяжести балки находится на расстоянии ( 1.5 , \text{м} ) от выступа, так как длина балки равна ( 3 , \text{м} ).
- Высота, на которой находится центр тяжести (по вертикали) от пола:
[
h_c = 1.5 , \text{м} \cdot \sin(30°) = 1.5 , \text{м} \cdot 0.5 = 0.75 , \text{м}
]
Таким образом, расстояние от точки опоры до центра тяжести будет равно:
[
l_c = 1.5 , \text{м} \cdot \cos(30°) = 1.5 , \text{м} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 1.299 , \text{м}
]
Сила натяжения верёвки создаёт момент:
[
M_T = T \cdot h = T \cdot 2.25 , \text{м} \cdot \cos(30°) \approx T \cdot 1.95 , \text{м}
]
Уравнение моментов относительно точки опоры:
[
M_T = W \cdot l_c \
T \cdot 1.95 , \text{м} = 1177.2 \cdot 1.299
]
Отсюда:
[
T \cdot 1.95 = 1521.0868
]
[
T = \frac{1521.0868}{1.95} \approx 778.03 , \text{Н}
]
- Найти силу реакции пола.
Сила реакции пола ( N ) должна уравновешивать вес балки и вертикальную составляющую натяжения верёвки. Силу реагирования можно выразить через уравнение:
[
N + T \cdot \sin(30°) = W
]
Подставим значения:
[
N + 778.03 \cdot 0.5 = 1177.2
]
[
N + 389.015 = 1177.2
]
[
N = 1177.2 - 389.015 \approx 788.185 , \text{Н}
]
- Найти силу реакции выступа.
Сила реакции выступа ( R ) должна уравновешивать горизонтальную составляющую натяжения верёвки. Сила будет равна:
[
R = T \cdot \cos(30°)
]
Подставим значение ( T ):
[
R = 778.03 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 778.03 \cdot 0.866 \approx 674.10 , \text{Н}
]
Таким образом, мы получили следующие результаты:
- Сила натяжения верёвки ( T \approx 778 , \text{Н} ).
- Сила реакции пола ( N \approx 788 , \text{Н} ).
- Сила реакции выступа ( R \approx 674 , \text{Н} ).
