Решить задачу: .В треугольнике ABC AB=BC. Точки M и H – середины сторон AB и BC. Проведены прямые MD и HE, перпендикулярные к прямой AC. Докажите, что ∆AMD=∆СHE.

Чтобы доказать, что треугольники \(\triangle AMD\) и \(\triangle CHE\) равны, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и свойствами перпендикуляров. 1. **Свойства треугольника ABC**: Поскольку \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный. Это значит, что угол \( \angle ACB = \angle ABC\). 2. **Середины отрезков**: Точки \(M\) и \(H\) – середины отрезков \(AB\) и \(BC\) соответственно, следовательно: \[ AM = MB \quad \text{и} \quad BH = HC \] 3. **Перпендикуляры**: По условию задачи прямые \(MD\) и \(HE\) перпендикулярны к прямой \(AC\). Таким образом, \(\angle MDA = \angle HEA = 90^\circ\). 4. **Сравнение треугольников**: - Рассмотрим угол \( \angle AMD\) и угол \( \angle CHE\). Оба угла равны, так как они равны углам \(90^\circ\) (из определения перпендикуляров). - Углы \( \angle AMB\) и \( \angle HBC\) равны, поскольку они равны каждому из \( \angle ABC\) в равнобедренном треугольнике. 5. **Стороны**: - Сторона \( AM\) равна \( HC\) (так как \(M\) и \(H\) – середины отрезков). - Сторона \(MD\) равна \(HE\). 6. **Признак равенства треугольников**: Мы имеем: \[ \angle AMD = \angle CHE \quad (\text{оба равны } 90^\circ) \] \[ AM = HC \] \[ MD = HE \] Согласно условию неравенства (угол-сторона-угол), треугольники \(\triangle AMD\) и \(\triangle CHE\) равны. Следовательно, мы можем заключить, что \(\triangle AMD \cong \triangle CHE\). Таким образом, доказательство завершено.