Давайте обозначим скорость первого велосипедиста как ( v_1 ) км/ч. Тогда скорость второго велосипедиста будет ( v_2 = v_1 + 9 ) км/ч.
Сначала узнаем, сколько времени проезжал первый велосипедист до встречи. Пусть это время равно ( t_1 ) часам. Второй велосипедист выехал через 2 часа 15 минут (что равно ( \frac{9}{4} ) часа) позже первого, и его время в пути будет ( t_2 = t_1 - \frac{9}{4} ) часов.
Так как встреча произошла на середине пути, то пройденное расстояние каждым из велосипедистов составляет половину от общего расстояния между пунктами A и B:
[
\frac{180}{2} = 90 \text{ км}
]
Согласно этому, у первого велосипедиста:
[
v_1 \cdot t_1 = 90
]
Отсюда следует:
[
t_1 = \frac{90}{v_1}
]
У второго велосипедиста:
[
v_2 \cdot t_2 = 90
]
Подставляем ( v_2 = v_1 + 9 ) и ( t_2 = t_1 - \frac{9}{4} ):
[
(v_1 + 9) \left(t_1 - \frac{9}{4}\right) = 90
]
Теперь подставим ( t_1 ):
[
(v_1 + 9) \left(\frac{90}{v_1} - \frac{9}{4}\right) = 90
]
Раскроем скобки:
[
(v_1 + 9) \cdot \left(\frac{90}{v_1} - \frac{9}{4}\right) = 90
]
Перепишем это уравнение:
[
90(v_1 + 9) \cdot \frac{1}{v_1} - (v_1 + 9) \cdot \frac{9}{4} = 90
]
Упрощаем:
[
\frac{90(v_1+9)}{v_1} - \frac{9(v_1 + 9)}{4} = 90
]
Умножаем все на ( 4v_1 ), чтобы избавиться от дробей:
[
360(v_1 + 9) - 9(v_1 + 9)v_1 = 360v_1
]
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
[
360v_1 + 3240 - 9v_1^2 - 81v_1 = 360v_1
]
[
-9v_1^2 - 81v_1 + 3240 = 0
]
Упрощаем это уравнение:
[
9v_1^2 + 81v_1 - 3240 = 0
]
Делим на 9:
[
v_1^2 + 9v_1 - 360 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение. По формуле квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360)}}{2 \cdot 1}
]
[
= \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1440}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{1521}}{2} = \frac{-9 \pm 39}{2}
]
Находим два возможных значения для ( v_1 ):
- ( v_1 = \frac{30}{2} = 15 ) км/ч
- ( v_1 = \frac{-48}{2} = -24 ) (отрицательная скорость не имеет смысла)
Итак, скорость первого велосипедиста ( v_1 = 15 ) км/ч.
Теперь найдем время движения первого велосипедиста:
[
t_1 = \frac{90}{v_1} = \frac{90}{15} = 6 \text{ часов}
]
Ответ: Первому велосипедисту понадобилось 6 часов на путь до встречи.
