Расстояние между пунктами А и Б равно 180 км. Из пункта А выехал велосипедист, а через 2 ч 15 мин навстречу ему из пункта Б выехал второй велосипедист, скорость которого на 9…

Давайте обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \) км/ч. Тогда скорость второго велосипедиста будет \( v_2 = v_1 + 9 \) км/ч.

Сначала узнаем, сколько времени проезжал первый велосипедист до встречи. Пусть это время равно \( t_1 \) часам. Второй велосипедист выехал через 2 часа 15 минут (что равно \( \frac{9}{4} \) часа) позже первого, и его время в пути будет \( t_2 = t_1 - \frac{9}{4} \) часов.

Так как встреча произошла на середине пути, то пройденное расстояние каждым из велосипедистов составляет половину от общего расстояния между пунктами A и B: \[ \frac{180}{2} = 90 \text{ км} \]

Согласно этому, у первого велосипедиста: \[ v_1 \cdot t_1 = 90 \] Отсюда следует: \[ t_1 = \frac{90}{v_1} \]

У второго велосипедиста: \[ v_2 \cdot t_2 = 90 \] Подставляем \( v_2 = v_1 + 9 \) и \( t_2 = t_1 - \frac{9}{4} \): \[ (v_1 + 9) \left(t_1 - \frac{9}{4}\right) = 90 \] Теперь подставим \( t_1 \): \[ (v_1 + 9) \left(\frac{90}{v_1} - \frac{9}{4}\right) = 90 \]

Раскроем скобки: \[ (v_1 + 9) \cdot \left(\frac{90}{v_1} - \frac{9}{4}\right) = 90 \]

Перепишем это уравнение: \[ 90(v_1 + 9) \cdot \frac{1}{v_1} - (v_1 + 9) \cdot \frac{9}{4} = 90 \]

Упрощаем: \[ \frac{90(v_1+9)}{v_1} - \frac{9(v_1 + 9)}{4} = 90 \]

Умножаем все на \( 4v_1 \), чтобы избавиться от дробей: \[ 360(v_1 + 9) - 9(v_1 + 9)v_1 = 360v_1 \]

Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \[ 360v_1 + 3240 - 9v_1^2 - 81v_1 = 360v_1 \] \[ -9v_1^2 - 81v_1 + 3240 = 0 \]

Упрощаем это уравнение: \[ 9v_1^2 + 81v_1 - 3240 = 0 \] Делим на 9: \[ v_1^2 + 9v_1 - 360 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. По формуле квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1440}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{1521}}{2} = \frac{-9 \pm 39}{2} \]

Находим два возможных значения для \( v_1 \):

1. \( v_1 = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч
2. \( v_1 = \frac{-48}{2} = -24 \) (отрицательная скорость не имеет смысла)

Итак, скорость первого велосипедиста \( v_1 = 15 \) км/ч.

Теперь найдем время движения первого велосипедиста: \[ t_1 = \frac{90}{v_1} = \frac{90}{15} = 6 \text{ часов} \]

Ответ: Первому велосипедисту понадобилось 6 часов на путь до встречи.