Чтобы решить уравнение ( x^4 - 3x^2 - 3 = 0 ), мы можем сделать замену переменной. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение можно переписать как:
[
y^2 - 3y - 3 = 0
]
Теперь это квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
в нашем случае ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -3 ):
[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21
]
Теперь находим корни уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}
]
Таким образом, получаем два значения ( y ):
[
y_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}, \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}
]
Теперь возвращаемся к переменной ( x ). Поскольку ( y = x^2 ), нам нужно решить следующие уравнения:
- ( x^2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} )
- ( x^2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} )
Для первого уравнения:
[
x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}}
]
Для второго уравнения необходимо проверить, является ли ( \frac{3 - \sqrt{21}}{2} ) неотрицательным. Поскольку ( \sqrt{21} \approx 4.58 ), мы имеем:
[
3 - \sqrt{21} \approx 3 - 4.58 < 0
]
Таким образом, второе уравнение не даёт действительных решений.
Итак, окончательные решения уравнения ( x^4 - 3x^2 - 3 = 0 ) будут:
[
x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}}
]
