икс в четвертой степени минус три икс в квадрате минус три равно ноль
Чтобы решить уравнение \( x^4 - 3x^2 - 3 = 0 \), мы можем сделать замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ y^2 - 3y - 3 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
в нашем случае \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -3 \):
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} \]
Таким образом, получаем два значения \( y \):
\[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}, \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \]
Теперь возвращаемся к переменной \( x \). Поскольку \( y = x^2 \), нам нужно решить следующие уравнения:
- \( x^2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \)
- \( x^2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \)
Для первого уравнения:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}} \]
Для второго уравнения необходимо проверить, является ли \( \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \) неотрицательным. Поскольку \( \sqrt{21} \approx 4.58 \), мы имеем:
\[ 3 - \sqrt{21} \approx 3 - 4.58 < 0 \]
Таким образом, второе уравнение не даёт действительных решений.
Итак, окончательные решения уравнения \( x^4 - 3x^2 - 3 = 0 \) будут:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}} \]
