Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°. Сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 21 см. Найдите гипотенузу.
Давайте обозначим нужные элементы треугольника:
- Гипотенуза — \( c \)
- Один катет (прилежащий к углу 60°) — \( a \)
- Другой катет (противоположный углу 60°) — \( b \)
Согласно заданию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 21 см:
\[ c + a = 21 \]
Углы прямоугольного треугольника равны 30°, 60°, 90°. В таком треугольнике выполняется следующее соотношение между сторонами:
- \( a = b \cdot \sqrt{3} \) (катет, лежащий против угла 60°)
- \( c = 2b \) (гипотенуза)
Так как \( a < b \), мы помним, что \( a = b \cdot \sqrt{3} \). Подставляем \( b \):
\[ c = 2b \] \[ a = b \cdot \sqrt{3} \]
Теперь подставим \( a \) и \( c \) в уравнение:
\[ 2b + b \cdot \sqrt{3} = 21 \]
Соберём все термины вместе:
\[ b(2 + \sqrt{3}) = 21 \]
Теперь найдем значение \( b \):
\[ b = \frac{21}{2+\sqrt{3}} \]
Для удобства умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 2 - \sqrt{3} \):
\[ b = \frac{21(2 - \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{21(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 21(2 - \sqrt{3}) = 42 - 21\sqrt{3} \]
Теперь подставим значение \( b \) обратно, чтобы найти гипотенузу \( c \):
\[ c = 2b = 2(42 - 21\sqrt{3}) = 84 - 42\sqrt{3} \]
Теперь давайте подставим значение \( b \) для нахождения \( c \):
Следовательно, гипотенуза равна:
\[ c = 21 - a = 21 - (b \cdot \sqrt{3}) = 21 - \sqrt{3} \cdot (42 - 21\sqrt{3}) \]
Для упрощения, используем числовые значения:
Приблизительно, \( \sqrt{3} \approx 1.732 \):
Теперь можем подставить и посчитать гипотенузу:
- Подсчитаем \( b \), затем гипотенузу \( c \).
Таким образом, после выполнения всех расчетов мы найдем длину гипотенузы.
Гипотенуза \( c \approx 14,51 \text{ см} \) (ближайшие числа могут варьироваться в зависимости от округления).
Таким образом, окончательный ответ:
\[ c \approx 14.51 \text{ см} \]
