Докажите тождество: ctg^2 3B-cos^2 3B=ctg^2 3B×cos^2 3B

Для доказательства тождества \( \cot^2 3B - \cos^2 3B = \cot^2 3B \times \cos^2 3B \) начнём с того, что выразим \( \cot^2 3B \) через другие тригонометрические функции:

\[ \cot^2 3B = \frac{\cos^2 3B}{\sin^2 3B} \]

Подставим это в левую часть тождества:

\[ \cot^2 3B - \cos^2 3B = \frac{\cos^2 3B}{\sin^2 3B} - \cos^2 3B \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ = \frac{\cos^2 3B - \cos^2 3B \cdot \sin^2 3B}{\sin^2 3B} \]

Теперь вынесем \( \cos^2 3B \) за скобки:

\[ = \frac{\cos^2 3B (1 - \sin^2 3B)}{\sin^2 3B} \]

Используя тождество \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \), мы имеем:

\[ 1 - \sin^2 3B = \cos^2 3B \]

Подставим это в выражение:

\[ = \frac{\cos^2 3B \cdot \cos^2 3B}{\sin^2 3B} = \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B} \]

А теперь рассмотрим правую часть тождества:

\[ \cot^2 3B \times \cos^2 3B = \frac{\cos^2 3B}{\sin^2 3B} \cdot \cos^2 3B = \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B} \]

Таким образом, обе части у нас равны:

\[ \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B} = \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B} \]

Следовательно, тождество доказано:

\[ \cot^2 3B - \cos^2 3B = \cot^2 3B \times \cos^2 3B \]