Для доказательства тождества ( \cot^2 3B - \cos^2 3B = \cot^2 3B \times \cos^2 3B ) начнём с того, что выразим ( \cot^2 3B ) через другие тригонометрические функции:
[
\cot^2 3B = \frac{\cos^2 3B}{\sin^2 3B}
]
Подставим это в левую часть тождества:
[
\cot^2 3B - \cos^2 3B = \frac{\cos^2 3B}{\sin^2 3B} - \cos^2 3B
]
Приведём к общему знаменателю:
[
= \frac{\cos^2 3B - \cos^2 3B \cdot \sin^2 3B}{\sin^2 3B}
]
Теперь вынесем ( \cos^2 3B ) за скобки:
[
= \frac{\cos^2 3B (1 - \sin^2 3B)}{\sin^2 3B}
]
Используя тождество ( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x ), мы имеем:
[
1 - \sin^2 3B = \cos^2 3B
]
Подставим это в выражение:
[
= \frac{\cos^2 3B \cdot \cos^2 3B}{\sin^2 3B} = \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B}
]
А теперь рассмотрим правую часть тождества:
[
\cot^2 3B \times \cos^2 3B = \frac{\cos^2 3B}{\sin^2 3B} \cdot \cos^2 3B = \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B}
]
Таким образом, обе части у нас равны:
[
\frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B} = \frac{\cos^4 3B}{\sin^2 3B}
]
Следовательно, тождество доказано:
[
\cot^2 3B - \cos^2 3B = \cot^2 3B \times \cos^2 3B
]
