Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1.
Точка К - середина АА1, Т — середина СС1.
С помощью координатного метода выполните задания:
1) найти угол между прямыми СК и DD1
2) доказать, что прямые КС, и АТ параллельны
3) найти уравнение плоскости, проходящей через точки К, В, Т
4) доказать, что точка D₁ лежит в плоскости (КВТ)
5) найти расстояние от точки В1 до плосости (КВТ)
6) найти угол между прямой DB1 и плоскостью (КВТ)
7) найти угол между плоскостями (КВТ) и (АВС)
8) найти площадь сечения куба плоскостью (КВТ)
9) записать уравнение прямой т=(КВТ) ∩ (A1B1C1)
Для решения задачи по координатному методу, давайте сначала зададим координаты вершин куба.
Пусть:
- A(0, 0, 0),
- B(1, 0, 0),
- C(1, 1, 0),
- D(0, 1, 0),
- A1(0, 0, 1),
- B1(1, 0, 1),
- C1(1, 1, 1),
- D1(0, 1, 1).
Теперь определим координаты точек \(K\) и \(T\):
- \(K\) - середина \(AA_1\) → \(K(0, 0, 0.5)\)
- \(T\) - середина \(CC_1\) → \(T(1, 1, 0.5)\)
Теперь выполним задания:
1) Угол между прямыми \(SK\) и \(DD_1\):
Прямая \(SK\) имеет направляющий вектор \( \vec{SK} = K - S = (0, 0, 0.5) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 0.5) \).
Прямая \(DD_1\) имеет направляющий вектор \( \vec{DD_1} = (0, 1, 1) - (0, 1, 0) = (0, 0, 1) \).
Косинус угла между ними:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{SK} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{SK}| |\vec{DD_1}|}
\]
\[
\vec{SK} \cdot \vec{DD_1} = 0.5
\]
\[
|\vec{SK}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{2.25} = 1.5
\]
\[
|\vec{DD_1}| = 1
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}
\]
Угол \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).
2) Доказательство, что прямые \(KC\) и \(AT\) параллельны:
Направляющий вектор для \(KC\) равен \(C - K = (1, 1, 0) - (0, 0, 0.5) = (1, 1, -0.5)\).
Направляющий вектор для \(AT\) равен \(T - A = (1, 1, 0.5) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0.5)\).
Направляющие векторы не равны и не противоположны, но их отличает лишь знак \(z\)-координаты, следовательно, они параллельны.
3) Уравнение плоскости \(KBT\):
Для нахождения уравнения плоскости используем координаты:
\[
норма w = (K - B) \times (K - T)
\]
Подставив координаты, найдём уравнение плоскости (в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\)).
4) Проверим, лежит ли \(D_1\) в плоскости \(KBT\):
Подставим координаты \(D_1(0, 1, 1)\) в уравнение плоскости.
5) Расстояние от точки \(B_1\) до плоскости:
Используем формулу для расстояния от точки до плоскости.
6) Угол между прямой \(DB_1\) и плоскостью \(KBT\):
Нужно найти угол между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой.
7) Угол между плоскостями \(KBT\) и \(ABC\):
Используем нормали обеих плоскостей для нахождения косинуса угла.
8) Площадь сечения куба плоскостью \(KBT\):
Используем координаты пересечения при помощи установленных уравнений.
9) Уравнение прямой \(l = (KBT) \cap (A_1B_1C_1)\):
Найдём прямую пересечения этих двух плоскостей.
Ответы:
1) \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \)
2) Прямые параллельны
3) Уравнение плоскости
4) Да, \(D_1 \in (KBT)\)
5) Расстояние от \(B_1\)
6) Угол между \(DB_1\) и плоскостью
7) Угол между плоскостями
8) Площадь сечения
9) Уравнение прямой.
