Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если диагона- ли его граней соответственно равны 11, 19 и 20.

Обозначим длины рёбер прямого параллелепипеда как \( a \), \( b \) и \( c \). Диагонали граней параллелепипеда можно выразить через эти рёбра следующим образом:

• Длина диагонали грани с рёбрами \( a \) и \( b \) равна \( \sqrt{a^2 + b^2} \).
• Длина диагонали грани с рёбрами \( b \) и \( c \) равна \( \sqrt{b^2 + c^2} \).
• Длина диагонали грани с рёбрами \( c \) и \( a \) равна \( \sqrt{c^2 + a^2} \).

По условию задачи у нас есть: \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 11, \] \[ \sqrt{b^2 + c^2} = 19, \] \[ \sqrt{c^2 + a^2} = 20. \]

Теперь квадратируем каждое из этих уравнений:

1. \( a^2 + b^2 = 121 \) (1)
2. \( b^2 + c^2 = 361 \) (2)
3. \( c^2 + a^2 = 400 \) (3)

Теперь мы имеем систему из трёх уравнений:

1. \( a^2 + b^2 = 121 \)
2. \( b^2 + c^2 = 361 \)
3. \( c^2 + a^2 = 400 \)

Будем выразить \( a^2 \), \( b^2 \) и \( c^2 \) через \( b^2 \): Из уравнения (1): \[ a^2 = 121 - b^2 \quad (4) \]

Подставляем (4) в (3): \[ c^2 + (121 - b^2) = 400. \] Отсюда получаем: \[ c^2 = 400 - 121 + b^2 = 279 + b^2 \quad (5) \]

Подставляем (5) в уравнение (2): \[ b^2 + (279 + b^2) = 361. \] Упрощаем: \[ 2b^2 + 279 = 361. \] Решаем для \( b^2 \): \[ 2b^2 = 361 - 279 = 82 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 41. \]

Теперь подставляем найденное \( b^2 \) в (4) и (5): Из (4): \[ a^2 = 121 - 41 = 80. \] Из (5): \[ c^2 = 279 + 41 = 320. \]

Теперь можем найти длины рёбер: \[ a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}, \] \[ b = \sqrt{41}, \] \[ c = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}. \]

Теперь находим длину диагонали параллелепипеда \( d \): \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{80 + 41 + 320} = \sqrt{441} = 21. \]

Таким образом, длина диагонали прямого параллелепипеда равна 21.