Обозначим длины рёбер прямого параллелепипеда как ( a ), ( b ) и ( c ). Диагонали граней параллелепипеда можно выразить через эти рёбра следующим образом:
- Длина диагонали грани с рёбрами ( a ) и ( b ) равна ( \sqrt{a^2 + b^2} ).
- Длина диагонали грани с рёбрами ( b ) и ( c ) равна ( \sqrt{b^2 + c^2} ).
- Длина диагонали грани с рёбрами ( c ) и ( a ) равна ( \sqrt{c^2 + a^2} ).
По условию задачи у нас есть:
[
\sqrt{a^2 + b^2} = 11,
]
[
\sqrt{b^2 + c^2} = 19,
]
[
\sqrt{c^2 + a^2} = 20.
]
Теперь квадратируем каждое из этих уравнений:
- ( a^2 + b^2 = 121 ) (1)
- ( b^2 + c^2 = 361 ) (2)
- ( c^2 + a^2 = 400 ) (3)
Теперь мы имеем систему из трёх уравнений:
- ( a^2 + b^2 = 121 )
- ( b^2 + c^2 = 361 )
- ( c^2 + a^2 = 400 )
Будем выразить ( a^2 ), ( b^2 ) и ( c^2 ) через ( b^2 ):
Из уравнения (1):
[
a^2 = 121 - b^2 \quad (4)
]
Подставляем (4) в (3):
[
c^2 + (121 - b^2) = 400.
]
Отсюда получаем:
[
c^2 = 400 - 121 + b^2 = 279 + b^2 \quad (5)
]
Подставляем (5) в уравнение (2):
[
b^2 + (279 + b^2) = 361.
]
Упрощаем:
[
2b^2 + 279 = 361.
]
Решаем для ( b^2 ):
[
2b^2 = 361 - 279 = 82 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 41.
]
Теперь подставляем найденное ( b^2 ) в (4) и (5):
Из (4):
[
a^2 = 121 - 41 = 80.
]
Из (5):
[
c^2 = 279 + 41 = 320.
]
Теперь можем найти длины рёбер:
[
a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5},
]
[
b = \sqrt{41},
]
[
c = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}.
]
Теперь находим длину диагонали параллелепипеда ( d ):
[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{80 + 41 + 320} = \sqrt{441} = 21.
]
Таким образом, длина диагонали прямого параллелепипеда равна 21.
