Решите систему уравнений x2+6xy+9y2=16 x-3y=-2
Для решения системы уравнений
- \( x^2 + 6xy + 9y^2 = 16 \)
- \( x - 3y = -2 \)
начнем с того, что выразим \( x \) через \( y \) из второго уравнения:
\[ x = 3y - 2 \]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение. Заменяем \( x \) в уравнении:
\[ (3y - 2)^2 + 6(3y - 2)y + 9y^2 = 16 \]
Раскроем скобки:
\[ (3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4 \] \[ 6(3y - 2)y = 18y^2 - 12y \]
Теперь подставляем все это в первое уравнение:
\[ 9y^2 - 12y + 4 + 18y^2 - 12y + 9y^2 = 16 \]
Сложим подобные члены:
\[ (9y^2 + 18y^2 + 9y^2) - (12y + 12y) + 4 = 16 \] \[ 36y^2 - 24y + 4 = 16 \]
Теперь вычтем 16 из обеих сторон:
\[ 36y^2 - 24y + 4 - 16 = 0 \] \[ 36y^2 - 24y - 12 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив все члены на 12:
\[ 3y^2 - 2y - 1 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \). Подставим значения в формулу:
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ y = \frac{2 \pm 4}{6} \]
Теперь найдем два возможных значения для \( y \):
- \( y = \frac{6}{6} = 1 \)
- \( y = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
Теперь подставим найденные \( y \) обратно в выражение для \( x \):
Если \( y = 1 \): \[ x = 3(1) - 2 = 1 \]
Если \( y = -\frac{1}{3} \): \[ x = 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 2 = -1 - 2 = -3 \]
Таким образом, мы получаем два решения для системы:
- \( (x, y) = (1, 1) \)
- \( (x, y) = (-3, -\frac{1}{3}) \)
Ответ:
\[ (1, 1) \quad \text{и} \quad (-3, -\frac{1}{3}) \]
