6. Найдите коллинеарные векторы: a=-6;2 b=4;-8 c=-8;4 d=3;-1

Чтобы определить, какие из указанных векторов являются коллинеарными, необходимо проверить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью скалярного множителя.

Давайте запишем векторы:

\[ \mathbf{a} = (-6, 2), \quad \mathbf{b} = (4, -8), \quad \mathbf{c} = (-8, 4), \quad \mathbf{d} = (3, -1) \]

Теперь проверим, являются ли пары этих векторов коллинеарными.

1. Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\)

Чтобы проверить коллинеарность, нужно найти скаляр \(k\), такой что:

\[ \mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a} \]

Для координат векторов это дает два уравнения: \[ 4 = -6k \quad \text{и} \quad -8 = 2k \]

Решая первое уравнение: \[ k = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ -8 = 2 \cdot -\frac{2}{3} \implies -8 \neq -\frac{4}{3} \]

Итак, \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) не коллинеарны.

2. Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\)

Проверим \(\mathbf{c}\): \[ \mathbf{c} = k \cdot \mathbf{a} \] Получаем: \[ -8 = -6k \quad \text{и} \quad 4 = 2k \]

Из первого уравнения: \[ k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Из второго уравнения: \[ k = \frac{4}{2} = 2 \]

Значения \(k\) не равны, значит, \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\) не коллинеарны.

3. Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{d}\)

Проверим \(\mathbf{d}\): \[ \mathbf{d} = k \cdot \mathbf{a} \]

Получаем: \[ 3 = -6k \quad \text{и} \quad -1 = 2k \]

Из первого: \[ k = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \]

Проверим во втором: \[ -1 = 2 \cdot -\frac{1}{2} \implies -1 = -1 \]

Итак, \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{d}\) коллинеарны.

4. Векторы \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\)

Проверим \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\): \[ \mathbf{c} = k \cdot \mathbf{b} \]

Уравнения: \[ -8 = 4k \quad \text{и} \quad 4 = -8k \]

Из первого: \[ k = -2 \]

Из второго: \[ k = -\frac{1}{2} \]

Значения \(k\) не равны, значит, \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) не коллинеарны.

5. Векторы \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{d}\)

Проверим \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{d}\): \[ \mathbf{d} = k \cdot \mathbf{b} \]

Получаем: \[ 3 = 4k \quad \text{и} \quad -1 = -8k \]

Из первого: \[ k = \frac{3}{4} \]

Из второго: \[ k = \frac{1}{8} \]

Значения \(k\) не равны, значит, \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{d}\) не коллинеарны.

Заключение:

Единственными коллинеарными векторами из предложенных являются \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{d}\).