Биссектрисы углов � M и � N при боковой стороне � � MN трапеции � � � � MNKP пересекаются в точке � L . Найдите � � MN , если � � = 21 ML=21 и � � = 20 NL=20 .

Для решения задачи используем свойство биссектрис, касающееся отрезков, которые они образуют. У нас есть трапеция \( MNKP \), где \( M \) и \( N \) — основания, а \( K \) и \( P \) — боковые стороны. Биссектрисы углов \( M \) и \( N \) пересекаются в точке \( L \).

Согласно свойству биссектрисы, отношение отрезков на боковой стороне \( MN \) будет равно отношению оснований:

\[ \frac{ML}{NL} = \frac{MN}{NK} \]

Где \( ML = 21 \) и \( NL = 20 \). Подставим известные значения в уравнение:

\[ \frac{21}{20} = \frac{MN}{NK} \]

Пусть \( MN = x \) и \( NK = y \). Тогда у нас есть:

\[ \frac{21}{20} = \frac{x}{y} \]

Это можно переписать как:

\[ 21y = 20x \]

Теперь выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = \frac{21}{20}x \]

Для получения решения, распишем полное расстояние между точками \( M \) и \( N \):

\[ MN = ML + NL = 21 + 20 = 41 \]

Теперь подставим значение \( y \) в уравнение:

Так как \( MN + NK = 41 + NK = x + y = 41 \), мы подставляем \( y \):

\[ x + \frac{21}{20}x = 41 \]

Соберем подобные:

\[ \left(1 + \frac{21}{20}\right)x = 41 \]

\[ \frac{41}{20}x = 41 \]

Умножим обе стороны на \(\frac{20}{41}\):

\[ x = 20 \]

Таким образом, длина отрезка \( MN \) равна:

\[ \boxed{20} \]