Дано ABCDA1B1C1D1-куб. Найдите угол AD1, DD1C1

Чтобы найти угол между прямыми \(AD_1\) и \(DD_1C_1\) в кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), необходимо проанализировать его геометрию. 1. **Определяем координаты вершин**: Пусть куб имеет сторону длины \(a\) и находится в координатной системе следующим образом: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A_1(0, 0, a)\) - \(B_1(a, 0, a)\) - \(C_1(a, a, a)\) - \(D_1(0, a, a)\) 2. **Определяем векторы**: - Вектор \(AD_1\) может быть найден как: \[ \overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a) \] - Вектор \(DD_1C_1\) сначала определим вектор \(DD_1\) и \(D_1C_1\): - \(D D_1\): \[ \overrightarrow{DD_1} = D_1 - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a) \] - \(D_1 C_1\): \[ \overrightarrow{D_1C_1} = C_1 - D_1 = (a, a, a) - (0, a, a) = (a, 0, 0) \] - Теперь находим вектор \(DD_1C_1\) как сумму: \[ \overrightarrow{DD_1C_1} = \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{D_1C_1} = (0, 0, a) + (a, 0, 0) = (a, 0, a) \] 3. **Находим угол между векторами**: Угол \(\theta\) между двумя векторами можно найти с помощью формулы: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DD_1C_1}}{|\overrightarrow{AD_1}| |\overrightarrow{DD_1C_1}|} \] - Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DD_1C_1} \): \[ \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DD_1C_1} = (0, a, a) \cdot (a, 0, a) = 0 \cdot a + a \cdot 0 + a \cdot a = a^2 \] - Теперь находим длины векторов: \[ |\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{DD_1C_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] - Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} \] Таким образом, \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\). **Ответ: угол \(AD_1, DD_1C_1 = 60^\circ\).**