Дано ABCDA1B1C1D1-куб. Найдите угол AD1, DD1C1
Чтобы найти угол между прямыми \(AD_1\) и \(DD_1C_1\) в кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), необходимо проанализировать его геометрию.
Определяем координаты вершин: Пусть куб имеет сторону длины \(a\) и находится в координатной системе следующим образом:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(a, 0, 0)\)
- \(C(a, a, 0)\)
- \(D(0, a, 0)\)
- \(A_1(0, 0, a)\)
- \(B_1(a, 0, a)\)
- \(C_1(a, a, a)\)
- \(D_1(0, a, a)\)
Определяем векторы:
- Вектор \(AD_1\) может быть найден как: \[ \overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a) \]
- Вектор \(DD_1C_1\) сначала определим вектор \(DD_1\) и \(D_1C_1\):
- \(D D_1\): \[ \overrightarrow{DD_1} = D_1 - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a) \]
- \(D_1 C_1\): \[ \overrightarrow{D_1C_1} = C_1 - D_1 = (a, a, a) - (0, a, a) = (a, 0, 0) \]
- Теперь находим вектор \(DD_1C_1\) как сумму: \[ \overrightarrow{DD_1C_1} = \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{D_1C_1} = (0, 0, a) + (a, 0, 0) = (a, 0, a) \]
Находим угол между векторами: Угол \(\theta\) между двумя векторами можно найти с помощью формулы: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DD_1C_1}}{|\overrightarrow{AD_1}| |\overrightarrow{DD_1C_1}|} \]
Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DD_1C_1} \): \[ \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DD_1C_1} = (0, a, a) \cdot (a, 0, a) = 0 \cdot a + a \cdot 0 + a \cdot a = a^2 \]
Теперь находим длины векторов: \[ |\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{DD_1C_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\).
Ответ: угол \(AD_1, DD_1C_1 = 60^\circ\).
