Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде равна ( v ) км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет равна ( v - 5 ) км/ч, а скорость по течению — ( v + 5 ) км/ч.
Обозначим время, затраченное на путь против течения, как ( t_1 ). Тогда время, затраченное на обратный путь, будет равно ( t_2 = t_1 - 5 ).
Согласно формуле для расстояния:
[
\text{Расстояние} = \text{Скорость} \times \text{Время}
]
Для пути против течения можно записать:
[
132 = (v - 5) \cdot t_1
]
Отсюда:
[
t_1 = \frac{132}{v - 5}
]
Для пути по течению:
[
132 = (v + 5) \cdot t_2
]
Так как ( t_2 = t_1 - 5 ), подставим выражение для ( t_1 ):
[
132 = (v + 5) \left( \frac{132}{v - 5} - 5 \right)
]
Теперь решим это уравнение. Приведем ( t_2 ) к общему знаменателю:
[
t_2 = \frac{132}{v - 5} - 5 = \frac{132 - 5(v - 5)}{v - 5} = \frac{132 - 5v + 25}{v - 5} = \frac{157 - 5v}{v - 5}
]
Теперь подставим это в уравнение для пути по течению:
[
132 = (v + 5) \left(\frac{157 - 5v}{v - 5}\right)
]
Умножим обе стороны на ( v - 5 ):
[
132(v - 5) = (v + 5)(157 - 5v)
]
Раскроем скобки:
[
132v - 660 = 157v - 5v^2 + 785 - 25v
]
Упрощаем:
[
132v - 660 = -5v^2 + 132v + 785
]
Теперь перенесем все в одну сторону:
[
0 = -5v^2 + 785 + 660 = -5v^2 + 1445
]
Умножим на -1:
[
5v^2 = 1445
]
[
v^2 = \frac{1445}{5} = 289
]
[
v = \sqrt{289} = 17
]
Итак, скорость лодки в неподвижной воде равна ( 17 ) км/ч.
