Для решения задачи используем формулу для резонансной частоты цепи LC:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
где:
- ( f ) — частота в герцах (Гц),
- ( L ) — индуктивность в генри (Гн),
- ( C ) — ёмкость в фарадах (Ф).
Сначала определим частоту ( f ) для длины волны 1000 м. Связь между длиной волны ( \lambda ) и частотой ( f ) дается уравнением:
[
f = \frac{c}{\lambda}
]
где ( c ) — скорость света (примерно ( 3 \times 10^8 ) м/с).
Подставим значение длины волны:
[
f = \frac{3 \times 10^8 , \text{м/с}}{1000 , \text{м}} = 3 \times 10^5 , \text{Гц}
]
Теперь у нас есть частота. Индуктивность ( L = 1 , \mu H = 1 \times 10^{-6} , H ).
Теперь можем найти ёмкость ( C ):
[
C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L}
]
Подставим значения:
[
C = \frac{1}{(2\pi \cdot 3 \times 10^5)^2 \cdot (1 \times 10^{-6})}
]
Сначала вычислим ( 2\pi \cdot 3 \times 10^5 ):
[
2\pi \cdot 3 \times 10^5 \approx 1.884 \times 10^6
]
Теперь возведём в квадрат:
[
(1.884 \times 10^6)^2 \approx 3.548 \times 10^{12}
]
Теперь подставим это значение:
[
C = \frac{1}{3.548 \times 10^{12} \cdot 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3.548 \times 10^{6}} \approx 2.82 \times 10^{-7} , F
]
Таким образом, ёмкость конденсатора составляет приблизительно:
[
C \approx 282 , пФ
]
