Для нахождения точки D (четвертой вершины) прямоугольника ABCD, нам необходимо воспользоваться свойством, что противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.
Итак, у нас есть вершины:
- A(1, -8)
- B(3, -4)
- C(2, -5)
Найдем координаты точки D. Сначала подберем координаты точки D из условия, что в прямоугольнике диагонали пересекаются в одной и той же точке.
Сначала найдём среднюю точку диагонали AC и BC, так как они должны совпадать.
Координаты средней точки AC:
[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{-8 - 5}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{-13}{2} \right) ]
Координаты средней точки BD:
[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) ]
Для нахождения D обозначим его координаты как ( D(x_D, y_D) ). Мы знаем, что:
[
\frac{3 + x_D}{2} = \frac{3}{2} \quad (1)
]
[
\frac{-4 + y_D}{2} = \frac{-13}{2} \quad (2)
]
Решаем уравнение (1):
[ 3 + x_D = 3 ]
[ x_D = 0 ]
Решаем уравнение (2):
[ -4 + y_D = -13 ]
[ y_D = -13 + 4 = -9 ]
Таким образом, координаты точки D:
[ D(0, -9) ]
Итак, точка D прямоугольника ABCD имеет координаты (0, -9).
