Чтобы оценить массу Сатурна, можно использовать закон всемирного тяготения и третий закон Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг планеты и его среднее расстояние от планеты.
Согласно третьему закону Кеплера, период обращения спутника (T) и его среднее расстояние от планеты (R) связаны следующей формулой:
[
T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} R^3
]
где:
- ( T ) — период обращения спутника (в секундах),
- ( R ) — среднее расстояние спутника от планеты (в метрах),
- ( G ) — гравитационная постоянная (приблизительно ( 6.674 \times 10^{-11} , \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{s}^{-2} )),
- ( M ) — масса планеты.
Сначала необходимо перевести заданные значения в нужные единицы и сформулировать уравнение для Сатурна.
Данные для Титана:
- Период обращения ( T_{Titan} = 15,9 , \text{сут} = 15,9 \times 24 \times 3600 , \text{с} \approx 1378560 , \text{с})
- Расстояние ( R_{Titan} = 1220000 , \text{км} = 1220000 \times 10^3 , \text{м} = 1,22 \times 10^9 , \text{м} )
Подставим эти значения в формулу:
[
(1378560)^2 = \frac{4\pi^2}{6.674 \times 10^{-11} M} (1.22 \times 10^9)^3
]
Выразим массу ( M ):
[
1378560^2 \cdot (6.674 \times 10^{-11} M) = 4\pi^2 \cdot (1.22 \times 10^9)^3
]
[
M = \frac{4\pi^2 \cdot (1.22 \times 10^9)^3}{1378560^2 \cdot 6.674 \times 10^{-11}}
]
Теперь вычислим каждую часть:
Вычислим ( (1.22 \times 10^9)^3 ):
[
(1.22 \times 10^9)^3 \approx 1.814 \times 10^{27} \text{ м}^3
]
Вычислим ( 1378560^2 ):
[
1378560^2 \approx 1.903 \times 10^{12} \text{ с}^2
]
Подставим и вычтем массу:
[
M \approx \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot 1.814 \times 10^{27}}{1.903 \times 10^{12} \cdot 6.674 \times 10^{-11}}
]
Теперь, вычисляя значение, мы получим массу Сатурна.
В конечном счете, после подстановки и вычислений мы получим массу Сатурна примерно равной ( 5.68 \times 10^{26} \text{ кг} ), что близко к известному значению массы Сатурна.
