Оцените массу Сатурна, зная, что спутник его Титан обращается вокруг планеты с периодом 15,9 сут на среднем расстоянии 1220000км. Для системы Земля-Луна эти величины…
Оцените массу Сатурна, зная, что спутник его Титан обращается вокруг планеты с периодом 15,9 сут на среднем расстоянии 1220000км. Для системы Земля-Луна эти величины соответственно равны 27,3сут и 384000км.
Чтобы оценить массу Сатурна, можно использовать закон всемирного тяготения и третий закон Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг планеты и его среднее расстояние от планеты.
Согласно третьему закону Кеплера, период обращения спутника (T) и его среднее расстояние от планеты (R) связаны следующей формулой:
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} R^3 \]
где:
- \( T \) — период обращения спутника (в секундах),
- \( R \) — среднее расстояние спутника от планеты (в метрах),
- \( G \) — гравитационная постоянная (приблизительно \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{s}^{-2} \)),
- \( M \) — масса планеты.
Сначала необходимо перевести заданные значения в нужные единицы и сформулировать уравнение для Сатурна.
Данные для Титана:
- Период обращения \( T_{Titan} = 15,9 \, \text{сут} = 15,9 \times 24 \times 3600 \, \text{с} \approx 1378560 \, \text{с}\)
- Расстояние \( R_{Titan} = 1220000 \, \text{км} = 1220000 \times 10^3 \, \text{м} = 1,22 \times 10^9 \, \text{м} \)
Подставим эти значения в формулу:
\[ (1378560)^2 = \frac{4\pi^2}{6.674 \times 10^{-11} M} (1.22 \times 10^9)^3 \]
Выразим массу \( M \):
\[ 1378560^2 \cdot (6.674 \times 10^{-11} M) = 4\pi^2 \cdot (1.22 \times 10^9)^3 \]
\[ M = \frac{4\pi^2 \cdot (1.22 \times 10^9)^3}{1378560^2 \cdot 6.674 \times 10^{-11}} \]
Теперь вычислим каждую часть:
Вычислим \( (1.22 \times 10^9)^3 \): \[ (1.22 \times 10^9)^3 \approx 1.814 \times 10^{27} \text{ м}^3 \]
Вычислим \( 1378560^2 \): \[ 1378560^2 \approx 1.903 \times 10^{12} \text{ с}^2 \]
Подставим и вычтем массу: \[ M \approx \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot 1.814 \times 10^{27}}{1.903 \times 10^{12} \cdot 6.674 \times 10^{-11}} \]
Теперь, вычисляя значение, мы получим массу Сатурна.
В конечном счете, после подстановки и вычислений мы получим массу Сатурна примерно равной \( 5.68 \times 10^{26} \text{ кг} \), что близко к известному значению массы Сатурна.
