В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁, все грани которого прямоугольники, точка Е середина ребра АВ. Известно, что AA₁ = 3, AD = 4 и АВ = 24. Найдите косинус угла между прямой D₁E и…

Для нахождения косинуса угла между прямой \(D_1E\) и плоскостью грани \(BCC_1B_1\) необходимо сначала определить координаты точек \(D_1\), \(E\) и плоскости, в которой лежит грань \(BCC_1B_1\).

1. Координаты точек:

   • Положим точку \(A\) в начале координат: \(A(0, 0, 0)\).
   • Так как \(AA_1 = 3\), то \(A_1(0, 0, 3)\).
   • При \(AD = 4\) получаем точку \(D(0, 4, 0)\).
   • Так как \(AB = 24\), то точка \(B(24, 0, 0)\).
   • Точки \(C\) и \(B_1\) можно найти с использованием координат \(A\), \(B\), \(D\) и \(A_1\):
     • \(C(24, 4, 0)\)
     • \(B_1(24, 0, 3)\)
     • \(C_1(24, 4, 3)\)
     • \(D_1(0, 4, 3)\)

2. Координаты точки \(E\):

   • \(E\) - середина ребра \(AB\): \[ E\left(\frac{0 + 24}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = E(12, 0, 0) \]

3. Вектор \(D_1E\):

   • Пусть \(D_1(0, 4, 3)\) и \(E(12, 0, 0)\): \[ \vec{D_1E} = E - D_1 = (12 - 0, 0 - 4, 0 - 3) = (12, -4, -3) \]

4. Нормальный вектор плоскости \(BCC_1B_1\):

   • Для нахождения нормального вектора используем два вектора в плоскости:
     • \(BC = C - B = (24 - 24, 4 - 0, 0 - 0) = (0, 4, 0)\)
     • \(BB_1 = B_1 - B = (24 - 24, 0 - 0, 3 - 0) = (0, 0, 3)\)
   • Нормальный вектор \(n\) к плоскости можно найти через векторное произведение \(BC\) и \(BB_1\): \[ \vec{n} = BC \times BB_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3)\hat{i} - (0 \cdot 0)\hat{j} + (0 \cdot 0 - 0 \cdot 4)\hat{k} = (12, 0, 0) \]

5. Косинус угла:

   • Теперь можем найти косинус угла между \(D_1E\) и нормальным вектором \(n\): \[ \cos \theta = \frac{\vec{D_1E} \cdot \vec{n}}{|\vec{D_1E}| \cdot |\vec{n}|} \]
   • Сначала находим скалярное произведение: \[ \vec{D_1E} \cdot \vec{n} = (12, -4, -3) \cdot (12, 0, 0) = 12 \cdot 12 + (-4) \cdot 0 + (-3) \cdot 0 = 144 \]
   • Затем длины векторов: \[ |\vec{D_1E}| = \sqrt{12^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{12^2 + 0^2 + 0^2} = 12 \]
   • Подставляем значения: \[ \cos \theta = \frac{144}{13 \cdot 12} = \frac{144}{156} = \frac{12}{13} \]

Ответ: косинус угла между прямой \(D_1E\) и плоскостью грани \(BCC_1B_1\) равен \(\frac{12}{13}\).