В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁, все грани которого прямоугольники, точка Е середина ребра АВ. Известно, что AA₁ = 3, AD = 4 и АВ = 24. Найдите косинус угла между прямой D₁E и плоскостью грани ВCC₁B1
Для нахождения косинуса угла между прямой \(D_1E\) и плоскостью грани \(BCC_1B_1\) необходимо сначала определить координаты точек \(D_1\), \(E\) и плоскости, в которой лежит грань \(BCC_1B_1\).
1. **Координаты точек**:
- Положим точку \(A\) в начале координат: \(A(0, 0, 0)\).
- Так как \(AA_1 = 3\), то \(A_1(0, 0, 3)\).
- При \(AD = 4\) получаем точку \(D(0, 4, 0)\).
- Так как \(AB = 24\), то точка \(B(24, 0, 0)\).
- Точки \(C\) и \(B_1\) можно найти с использованием координат \(A\), \(B\), \(D\) и \(A_1\):
- \(C(24, 4, 0)\)
- \(B_1(24, 0, 3)\)
- \(C_1(24, 4, 3)\)
- \(D_1(0, 4, 3)\)
2. **Координаты точки \(E\)**:
- \(E\) - середина ребра \(AB\):
\[
E\left(\frac{0 + 24}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = E(12, 0, 0)
\]
3. **Вектор \(D_1E\)**:
- Пусть \(D_1(0, 4, 3)\) и \(E(12, 0, 0)\):
\[
\vec{D_1E} = E - D_1 = (12 - 0, 0 - 4, 0 - 3) = (12, -4, -3)
\]
4. **Нормальный вектор плоскости \(BCC_1B_1\)**:
- Для нахождения нормального вектора используем два вектора в плоскости:
- \(BC = C - B = (24 - 24, 4 - 0, 0 - 0) = (0, 4, 0)\)
- \(BB_1 = B_1 - B = (24 - 24, 0 - 0, 3 - 0) = (0, 0, 3)\)
- Нормальный вектор \(n\) к плоскости можно найти через векторное произведение \(BC\) и \(BB_1\):
\[
\vec{n} = BC \times BB_1 =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}
= (4 \cdot 3)\hat{i} - (0 \cdot 0)\hat{j} + (0 \cdot 0 - 0 \cdot 4)\hat{k}
= (12, 0, 0)
\]
5. **Косинус угла**:
- Теперь можем найти косинус угла между \(D_1E\) и нормальным вектором \(n\):
\[
\cos \theta = \frac{\vec{D_1E} \cdot \vec{n}}{|\vec{D_1E}| \cdot |\vec{n}|}
\]
- Сначала находим скалярное произведение:
\[
\vec{D_1E} \cdot \vec{n} = (12, -4, -3) \cdot (12, 0, 0) = 12 \cdot 12 + (-4) \cdot 0 + (-3) \cdot 0 = 144
\]
- Затем длины векторов:
\[
|\vec{D_1E}| = \sqrt{12^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13
\]
\[
|\vec{n}| = \sqrt{12^2 + 0^2 + 0^2} = 12
\]
- Подставляем значения:
\[
\cos \theta = \frac{144}{13 \cdot 12} = \frac{144}{156} = \frac{12}{13}
\]
Ответ: косинус угла между прямой \(D_1E\) и плоскостью грани \(BCC_1B_1\) равен \(\frac{12}{13}\).
