Чтобы найти сумму первых ( p ) членов геометрической прогрессии, мы используем формулу:
[
S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}
]
где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов, ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( r ) — знаменатель прогрессии, ( n ) — количество членов.
Теперь рассмотрим каждую из приведенных прогрессий:
а) 1; 3; 3; ...
Здесь первый член ( a_1 = 1 ), а знаменатель ( r = \frac{3}{1} = 3 ) для первых двух членов и ( r = \frac{3}{3} = 1 ) для следующих членов. Это не является геометрической прогрессией, поскольку знаменатель не постоянен. Суммируем отдельно:
- первые два члена: ( 1 + 3 = 4 )
- последующие члены равны 3, а их число равно ( p - 2 ).
Сумма:
[
S_p = 4 + 3(p - 2) = 3p - 2
]
б) 1; -x; x²; ... (где ( x \neq 1 ))
Здесь первый член ( a_1 = 1 ), второй член ( a_2 = -x ), третий член ( a_3 = x^2 ). Знаменатель ( r = -x ).
Сумма:
[
S_p = 1 \frac{1 - (-x)^p}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^p}{1 + x}
]
в) 2; 22; 2;
Здесь также первый член ( a_1 = 2 ), но прогрессия не геометрическая, так как ( r ) меняется от 11 до 1.
Сумма:
[
S_p = 2 + 22 + 2 + 2 + ... = 2 + 22 + 2(p-2) = 2p + 20
]
(если ( p \geq 2 ))
г) 1; х²; х²; ... (где ( x \neq \pm 1 ))
Здесь также первый член ( a_1 = 1 ), затем ( a_2 = x^2 ), и для всех последующих членов прогрессия становится постоянной с р. Сумма:
[
S_p = 1 + x^2 + x^2 + ... = 1 + x^2(p - 1) = 1 + x^2 p - x^2 = (x^2)p - x^2 + 1
]
д) 1/2; -1/4; 1/8 ...
Здесь первый член ( a_1 = \frac{1}{2} ) и знаменатель ( r = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2} ).
Сумма:
[
S_p = \frac{1/2 (1 - (-1/2)^p)}{1 - (-1/2)} = \frac{1/2 (1 - (-1/2)^p)}{1 + 1/2} = \frac{1/2 (1 - (-1/2)^p)}{3/2} = \frac{1 - (-1/2)^p}{3}
]
е) 1; -x³; x; ... (где ( x \neq -1 ))
Здесь ( a_1 = 1 ), ( a_2 = -x^3 ), ( a_3 = x ). Знаменатель:
[
r = \frac{-x^3}{1}
]
Сумма:
[
S_p = 1 + (-x^3) + x + \cdots = 1 - x^3 + \sum (x^{k}) \text{для иного k}
]
Суммируя все согласно правилам, мы можем найти ( S_p ) для всех член.
Если нужно проанализировать подробнее один из случаев - сообщите!
