Найдите сумму п первых членов геометрической прогрессии: a) 1; 3; 3; ....; 2. г) 1; -х; х²; ..., где x ne-1 ; 6) 2; 22; 2; д) 1; х²; х²; ..., где х≠±1; 1/2; - 1/4; 1/8 B) ...; e)…

Чтобы найти сумму первых \( p \) членов геометрической прогрессии, мы используем формулу:

\[ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

где \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов, \( a_1 \) — первый член прогрессии, \( r \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — количество членов.

Теперь рассмотрим каждую из приведенных прогрессий:

а) 1; 3; 3; ...

Здесь первый член \( a_1 = 1 \), а знаменатель \( r = \frac{3}{1} = 3 \) для первых двух членов и \( r = \frac{3}{3} = 1 \) для следующих членов. Это не является геометрической прогрессией, поскольку знаменатель не постоянен. Суммируем отдельно:

• первые два члена: \( 1 + 3 = 4 \)
• последующие члены равны 3, а их число равно \( p - 2 \).

Сумма: \[ S_p = 4 + 3(p - 2) = 3p - 2 \]

б) 1; -x; x²; ... (где \( x \neq 1 \))

Здесь первый член \( a_1 = 1 \), второй член \( a_2 = -x \), третий член \( a_3 = x^2 \). Знаменатель \( r = -x \).

Сумма: \[ S_p = 1 \frac{1 - (-x)^p}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^p}{1 + x} \]

в) 2; 22; 2;

Здесь также первый член \( a_1 = 2 \), но прогрессия не геометрическая, так как \( r \) меняется от 11 до 1.

Сумма: \[ S_p = 2 + 22 + 2 + 2 + ... = 2 + 22 + 2(p-2) = 2p + 20 \] (если \( p \geq 2 \))

г) 1; х²; х²; ... (где \( x \neq \pm 1 \))

Здесь также первый член \( a_1 = 1 \), затем \( a_2 = x^2 \), и для всех последующих членов прогрессия становится постоянной с р. Сумма: \[ S_p = 1 + x^2 + x^2 + ... = 1 + x^2(p - 1) = 1 + x^2 p - x^2 = (x^2)p - x^2 + 1 \]

д) 1/2; -1/4; 1/8 ...

Здесь первый член \( a_1 = \frac{1}{2} \) и знаменатель \( r = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2} \).

Сумма: \[ S_p = \frac{1/2 (1 - (-1/2)^p)}{1 - (-1/2)} = \frac{1/2 (1 - (-1/2)^p)}{1 + 1/2} = \frac{1/2 (1 - (-1/2)^p)}{3/2} = \frac{1 - (-1/2)^p}{3} \]

е) 1; -x³; x; ... (где \( x \neq -1 \))

Здесь \( a_1 = 1 \), \( a_2 = -x^3 \), \( a_3 = x \). Знаменатель: \[ r = \frac{-x^3}{1} \] Сумма: \[ S_p = 1 + (-x^3) + x + \cdots = 1 - x^3 + \sum (x^{k}) \text{для иного k} \]

Суммируя все согласно правилам, мы можем найти \( S_p \) для всех член.

Если нужно проанализировать подробнее один из случаев - сообщите!