Хорошо, вот условия задачи, выписанные отдельно: Условия задачи: Закон движения точки по прямой задаётся формулой ×s(t) = 2t² + t×, где ×t× — время (в секундах), ×s(t)× —…
Хорошо, вот условия задачи, выписанные отдельно: Условия задачи: Закон движения точки по прямой задаётся формулой ×s(t) = 2t² + t×, где ×t× — время (в секундах), ×s(t)× — отклонение точки в момент времени ×t× (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени ×t = 1,8× с. Докажите, что у заданной функции ускорение в момент времени ×t× является постоянной величиной. В доказательстве используйте определение производной.
Для решения задачи сначала найдем скорость и ускорение точки в заданный момент времени.
1. Нахождение скорости
Скорость точки \( v(t) \) является производной от функции положения \( s(t) \):
\[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \]
Подставим функцию движения:
\[ s(t) = 2t^2 + t \]
Теперь найдем производную:
\[ v(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1 \]
Теперь подставим \( t = 1.8 \) с:
\[ v(1.8) = 4 \cdot 1.8 + 1 = 7.2 + 1 = 8.2 \, \text{м/с} \]
2. Нахождение ускорения
Ускорение точки \( a(t) \) является производной от функции скорости \( v(t) \):
\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \]
Подставим найденную скорость:
\[ v(t) = 4t + 1 \]
Теперь найдем производную:
\[ a(t) = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4 \]
Таким образом, ускорение постоянно равно \( 4 \, \text{м/с}^2 \) для любого момента времени \( t \).
3. Доказательство постоянства ускорения
Ускорение является производной от скорости:
\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \]
Мы уже у вычислении производной от \( v(t) = 4t + 1 \) нашли, что:
\[ a(t) = 4 \]
Так как результат не зависит от времени \( t \), то ускорение является постоянной величиной.
Ответ
- Скорость в момент времени \( t = 1.8 \) с: \( v(1.8) = 8.2 \, \text{м/с} \).
- Ускорение: \( a(t) = 4 \, \text{м/с}^2 \) (постоянное значение).
