Давайте вирішимо вашу задачу по пунктах.
4. Розв'язати рівняння ( \log(2x - 7) = 3 ).
Для розв'язання ми можемо переписати рівняння в експоненціальному вигляді:
[
2x - 7 = 10^3
]
[
2x - 7 = 1000
]
Додамо 7 до обох сторін:
[
2x = 1007
]
Тепер поділимо на 2:
[
x = \frac{1007}{2} = 503.5
]
Відповідь: ( x = 503.5 )
5. Знайти область визначення функції ( y = \log_{0.5}(5 - 2x) ).
Щоб логарифм мав сенс, його аргумент повинен бути додатнім. Отже, розв'язуємо нерівність:
[
5 - 2x > 0
]
Розв'яжемо цю нерівність:
[
5 > 2x \implies x < \frac{5}{2} = 2.5
]
Також потрібно врахувати, що основа логарифма (0.5) менша за 1. Тому ми маємо зворотний знак для нерівності:
[
5 - 2x < 0 \implies 2x > 5 \implies x > \frac{5}{2} = 2.5
]
Складаємо отримані умови:
- Розв'язок не можливий, оскільки немає спільних значень, які задовольняли б обидві умови.
Відповідь: Область визначення порожня.
6. Обчисліть суму цілих розв'язків ( \frac{1}{5} \leq 5^{(x + 3)} \leq 25 ).
Перепишемо нерівності в експоненціальному вигляді:
( \frac{1}{5} \leq 5^{(x + 3)} ):
[
5^{-1} \leq 5^{(x + 3)} \implies -1 \leq x + 3 \implies x \geq -4
]
( 5^{(x + 3)} \leq 25 ):
[
5^{(x+3)} \leq 5^2 \implies x + 3 \leq 2 \implies x \leq -1
]
Отже, поєднуючи обидві нерівності, маємо:
[
-4 \leq x \leq -1
]
Цілі розв'язки: ( -4, -3, -2, -1 ).
Обчислимо суму цілих розв'язків:
[
-4 + (-3) + (-2) + (-1) = -10
]
Відповідь: Сума цілих розв'язків = -10
7. Розв'язати рівняння ( 36^x - 3 \cdot 6^x - 18 = 0 ).
Зробимо заміну: ( y = 6^x ). Тоді ( 36^x = (6^2)^x = (6^x)^2 = y^2 ).
Отже, наше рівняння перетворюється в:
[
y^2 - 3y - 18 = 0
]
Розв'яжемо це квадратне рівняння за формулою:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}
]
Отже, маємо два рішення:
[
y = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{та} \quad y = \frac{-6}{2} = -3 \quad (\text{не підходить, оскільки } y > 0)
]
Таким чином:
[
6^x = 6 \implies x = 1
]
Відповідь: ( x = 1 )
8. Знайдіть значення виразу ( 2 \cdot \log_5(15) - 4 \cdot \log_{25}(3) ).
Спочатку перепишемо ( \log_{25}(3) ):
[
\log_{25}(3) = \log_{5^2}(3) = \frac{1}{2} \log_5(3)
]
Підставимо у вираз:
[
2 \cdot \log_5(15) - 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \log_5(3)\right) = 2 \cdot \log_5(15) - 2 \cdot \log_5(3)
]
Винесемо спільний множник:
[
= 2 \left(\log_5(15) - \log_5(3)\right) = 2 \log_5\left(\frac{15}{3}\right) = 2 \log_5(5) = 2 \cdot 1 = 2
]
Відповідь: Значення виразу = 2
Якщо у вас є додаткові питання або потрібна допомога з іншими вправами, не соромтеся запитувати!
