4. (16) Розв'язати рівняння log_(5) (2x-7)=3. 5. (16) Знайти область визначення функції y = log_(0, 5)(5 - 2x) 6.(26) Обчисліть суму цілих розв'язків 1/5 <= 5 ^ (x + 3) <= 25 7.…

Давайте розв'яжемо надані питання одне за іншим.

4. Розв'язати рівняння \( \log_{5} (2x - 7) = 3 \)

Для початку, перетворимо логарифмічне рівняння до показникового вигляду:

\[ 2x - 7 = 5^3 \]

Обчислимо \( 5^3 \):

\[ 5^3 = 125 \]

Тепер рівняння виглядає так:

\[ 2x - 7 = 125 \]

Додаємо 7 до обох сторін:

\[ 2x = 125 + 7 \]

\[ 2x = 132 \]

Ділимо обидві сторони на 2:

\[ x = \frac{132}{2} = 66 \]

Отже, розв'язок: \( x = 66 \).

5. Знайти область визначення функції \( y = \log_{0.5}(5 - 2x) \)

Логарифм визначений, якщо його аргумент більше нуля, і основа логарифму має бути позитивною та не дорівнювати 1.

1. Аргумент: \( 5 - 2x > 0 \)

   \[ 5 > 2x \implies \frac{5}{2} > x \implies x < 2.5 \]

2. Основу: \( 0.5 > 0 \) та \( 0.5 \neq 1 \).

Отже, область визначення функції:

\[ (-\infty, 2.5) \]

6. Обчисліть суму цілих розв'язків \( \frac{1}{5} \leq 5^{(x+3)} \leq 25 \)

Спочатку перетворимо обидві частини:

1. Для \( \frac{1}{5} \):

\[ 5^{(x + 3)} \geq \frac{1}{5} \implies x + 3 \geq -1 \implies x \geq -4 \]

2. Для \( 25 \):

\[ 5^{(x + 3)} \leq 25 \implies x + 3 \leq 2 \implies x \leq -1 \]

Таким чином, отримаємо:

\[ -4 \leq x \leq -1 \]

Цілі значення \( x \): \( -4, -3, -2, -1 \).

Сумуємо ці значення:

\[ -4 + (-3) + (-2) + (-1) = -4 - 3 - 2 - 1 = -10 \]

7. Розв'язати рівняння \( 36^x - 3 \cdot 6^x - 18 = 0 \)

Замінимо \( 36^x \) та \( 6^x \):

\[ 36^x = (6^2)^x = (6^x)^2 \]

Позначимо \( z = 6^x \), отже, рівняння набуває вигляду:

\[ z^2 - 3z - 18 = 0 \]

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\[ z = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 18}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2} \]

1. \( z_1 = \frac{12}{2} = 6 \)
2. \( z_2 = \frac{-6}{2} = -3 \) (не підходить, оскільки \( z = 6^x > 0 \))

Отже, \( 6^x = 6 \implies x = 1 \).

8. Знайдіть значення виразу \( 2 \cdot \log_{5}(15) - 4 \cdot \log_{25}(3) \)

Звертаємо увагу на основи логарифмів. Знаємо, що \( \log_{25}(3) = \frac{\log_{5}(3)}{\log_{5}(25)} = \frac{\log_{5}(3)}{2} \).

Отже, наш вираз можна перетворити:

\[ 2 \cdot \log_{5}(15) - 4 \cdot \frac{\log_{5}(3)}{2} = 2 \cdot \log_{5}(15) - 2 \cdot \log_{5}(3) \]

Використовуючи властивості логарифмів, можемо переписати:

\[ 2 \cdot (\log_{5}(15) - \log_{5}(3)) = 2 \cdot \log_{5}\left(\frac{15}{3}\right) = 2 \cdot \log_{5}(5) = 2 \cdot 1 = 2 \]

Отже, значення виразу: \( 2 \).

Відповіді:

4. \( x = 66 \)
5. \( (-\infty, 2.5) \)
6. Сума цілих розв'язків: \( -10 \)
7. \( x = 1 \)
8. Значення виразу: \( 2 \)