Давайте розв'яжемо надані питання одне за іншим.
4. Розв'язати рівняння ( \log_{5} (2x - 7) = 3 )
Для початку, перетворимо логарифмічне рівняння до показникового вигляду:
[
2x - 7 = 5^3
]
Обчислимо ( 5^3 ):
[
5^3 = 125
]
Тепер рівняння виглядає так:
[
2x - 7 = 125
]
Додаємо 7 до обох сторін:
[
2x = 125 + 7
]
[
2x = 132
]
Ділимо обидві сторони на 2:
[
x = \frac{132}{2} = 66
]
Отже, розв'язок: ( x = 66 ).
5. Знайти область визначення функції ( y = \log_{0.5}(5 - 2x) )
Логарифм визначений, якщо його аргумент більше нуля, і основа логарифму має бути позитивною та не дорівнювати 1.
Аргумент: ( 5 - 2x > 0 )
[
5 > 2x \implies \frac{5}{2} > x \implies x < 2.5
]
Основу: ( 0.5 > 0 ) та ( 0.5 \neq 1 ).
Отже, область визначення функції:
[
(-\infty, 2.5)
]
6. Обчисліть суму цілих розв'язків ( \frac{1}{5} \leq 5^{(x+3)} \leq 25 )
Спочатку перетворимо обидві частини:
- Для ( \frac{1}{5} ):
[
5^{(x + 3)} \geq \frac{1}{5} \implies x + 3 \geq -1 \implies x \geq -4
]
- Для ( 25 ):
[
5^{(x + 3)} \leq 25 \implies x + 3 \leq 2 \implies x \leq -1
]
Таким чином, отримаємо:
[
-4 \leq x \leq -1
]
Цілі значення ( x ): ( -4, -3, -2, -1 ).
Сумуємо ці значення:
[
-4 + (-3) + (-2) + (-1) = -4 - 3 - 2 - 1 = -10
]
7. Розв'язати рівняння ( 36^x - 3 \cdot 6^x - 18 = 0 )
Замінимо ( 36^x ) та ( 6^x ):
[
36^x = (6^2)^x = (6^x)^2
]
Позначимо ( z = 6^x ), отже, рівняння набуває вигляду:
[
z^2 - 3z - 18 = 0
]
Розв'яжемо квадратне рівняння:
[
z = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 18}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}
]
- ( z_1 = \frac{12}{2} = 6 )
- ( z_2 = \frac{-6}{2} = -3 ) (не підходить, оскільки ( z = 6^x > 0 ))
Отже, ( 6^x = 6 \implies x = 1 ).
8. Знайдіть значення виразу ( 2 \cdot \log_{5}(15) - 4 \cdot \log_{25}(3) )
Звертаємо увагу на основи логарифмів. Знаємо, що ( \log_{25}(3) = \frac{\log_{5}(3)}{\log_{5}(25)} = \frac{\log_{5}(3)}{2} ).
Отже, наш вираз можна перетворити:
[
2 \cdot \log_{5}(15) - 4 \cdot \frac{\log_{5}(3)}{2} = 2 \cdot \log_{5}(15) - 2 \cdot \log_{5}(3)
]
Використовуючи властивості логарифмів, можемо переписати:
[
2 \cdot (\log_{5}(15) - \log_{5}(3)) = 2 \cdot \log_{5}\left(\frac{15}{3}\right) = 2 \cdot \log_{5}(5) = 2 \cdot 1 = 2
]
Отже, значення виразу: ( 2 ).
Відповіді:
- ( x = 66 )
- ( (-\infty, 2.5) )
- Сума цілих розв'язків: ( -10 )
- ( x = 1 )
- Значення виразу: ( 2 )
