Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 минут быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью на 2 км/ч большей, чем…

Обозначим скорость первого лыжника через \( v \) км/ч. Тогда скорость второго лыжника будет равна \( v - 2 \) км/ч.

По формуле \( S = vt \), время, затраченное первым лыжником на преодоление 20 км, можно выразить как:

\[ t_1 = \frac{20}{v} \]

А время, затраченное вторым лыжником:

\[ t_2 = \frac{20}{v - 2} \]

Согласно условию задачи, первый лыжник прошёл расстояние на 20 минут (что равно \(\frac{1}{3}\) часа) быстрее, чем второй. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[ t_2 - t_1 = \frac{1}{3} \]

Подставим значения времени в уравнение:

\[ \frac{20}{v - 2} - \frac{20}{v} = \frac{1}{3} \]

Теперь найдем общий знаменатель и упростим уравнение:

\[ \frac{20v - 20(v - 2)}{v(v - 2)} = \frac{1}{3} \]

Упростим числитель:

\[ \frac{20v - 20v + 40}{v(v - 2)} = \frac{40}{v(v - 2)} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{40}{v(v - 2)} = \frac{1}{3} \]

Перемножим обе стороны на \( 3v(v - 2) \):

\[ 120 = v(v - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ v^2 - 2v - 120 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставляем значения \( a = 1, b = -2, c = -120 \):

\[ v = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} \] \[ v = \frac{2 \pm \sqrt{484}}{2} \] \[ v = \frac{2 \pm 22}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( v \):

1. \( v = \frac{24}{2} = 12 \) км/ч
2. \( v = \frac{-20}{2} = -10 \) км/ч (это значение невозможно, так как скорость не может быть отрицательной)

Следовательно, скорость первого лыжника равна \( 12 \) км/ч. Скорость второго лыжника:

\[ v - 2 = 12 - 2 = 10 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость первого лыжника составляет \( 12 \) км/ч, а скорость второго лыжника — \( 10 \) км/ч.