Обозначим скорость первого лыжника через ( v ) км/ч. Тогда скорость второго лыжника будет равна ( v - 2 ) км/ч.
По формуле ( S = vt ), время, затраченное первым лыжником на преодоление 20 км, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{20}{v}
]
А время, затраченное вторым лыжником:
[
t_2 = \frac{20}{v - 2}
]
Согласно условию задачи, первый лыжник прошёл расстояние на 20 минут (что равно (\frac{1}{3}) часа) быстрее, чем второй. Мы можем записать это в виде уравнения:
[
t_2 - t_1 = \frac{1}{3}
]
Подставим значения времени в уравнение:
[
\frac{20}{v - 2} - \frac{20}{v} = \frac{1}{3}
]
Теперь найдем общий знаменатель и упростим уравнение:
[
\frac{20v - 20(v - 2)}{v(v - 2)} = \frac{1}{3}
]
Упростим числитель:
[
\frac{20v - 20v + 40}{v(v - 2)} = \frac{40}{v(v - 2)}
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{40}{v(v - 2)} = \frac{1}{3}
]
Перемножим обе стороны на ( 3v(v - 2) ):
[
120 = v(v - 2)
]
Раскроем скобки:
[
v^2 - 2v - 120 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставляем значения ( a = 1, b = -2, c = -120 ):
[
v = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1}
]
[
v = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2}
]
[
v = \frac{2 \pm \sqrt{484}}{2}
]
[
v = \frac{2 \pm 22}{2}
]
Таким образом, у нас есть два возможных значения для ( v ):
- ( v = \frac{24}{2} = 12 ) км/ч
- ( v = \frac{-20}{2} = -10 ) км/ч (это значение невозможно, так как скорость не может быть отрицательной)
Следовательно, скорость первого лыжника равна ( 12 ) км/ч. Скорость второго лыжника:
[
v - 2 = 12 - 2 = 10 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость первого лыжника составляет ( 12 ) км/ч, а скорость второго лыжника — ( 10 ) км/ч.
