Обозначим длину проекции наклонной на плоскость как ( x ). Тогда длина самой наклонной будет равна ( 3x ).
Обозначим угол между наклонной и её проекцией на плоскости как ( \theta ). В данном случае, по определению тангенса, мы можем записать:
[
\tan(\theta) = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}
]
В нашем случае противоположной стороной будет высота, а прилежащей — проекция. По теореме Пифагора:
[
(3x)^2 = h^2 + x^2
]
где ( h ) — это высота. Предположим, что ( h ) — это высота наклонной относительно её проекции. Подставим значения в уравнение:
[
9x^2 = h^2 + x^2
]
[
8x^2 = h^2
]
[
h = \sqrt{8} x = 2\sqrt{2} x
]
Теперь подставим это значение ( h ) в формулу для тангенса угла:
[
\tan(\theta) = \frac{h}{x} = \frac{2\sqrt{2} x}{x} = 2\sqrt{2}
]
Таким образом, тангенс угла между наклонной и её проекцией:
[
\tan(\theta) = 2\sqrt{2}
]
