Обозначим скорость скорого поезда как ( v ) (км/ч), тогда скорость товарного поезда будет ( v - 20 ) (км/ч).
Согласно условиям задачи, скорый поезд прошёл 400 км на час быстрее товарного. Мы можем использовать формулу времени:
[
t = \frac{S}{v}
]
где ( S ) — расстояние, ( v ) — скорость, а ( t ) — время.
Для скорого поезда время в пути будет:
[
t_{\text{ск}} = \frac{400}{v}
]
Для товарного поезда время в пути будет:
[
t_{\text{тов}} = \frac{400}{v - 20}
]
Согласно условию задачи, время в пути скорого поезда на час меньше времени в пути товарного, т.е.:
[
\frac{400}{v - 20} - \frac{400}{v} = 1
]
Теперь умножим всё на ( v(v - 20) ), чтобы избавиться от дробей:
[
400v - 400(v - 20) = v(v - 20)
]
Упрощаем уравнение:
[
400v - 400v + 8000 = v^2 - 20v
]
Получаем:
[
v^2 - 20v - 8000 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
v = \frac{20 \pm \sqrt{32400}}{2}
]
Вычислим (\sqrt{32400} = 180), тогда:
[
v = \frac{20 \pm 180}{2}
]
Решения:
- ( v = \frac{200}{2} = 100 )
- ( v = \frac{-160}{2} = -80 ) (отрицательная скорость — физически невозможный вариант)
Таким образом, скорость скорого поезда ( v = 100 ) км/ч, а скорость товарного поезда:
[
v - 20 = 100 - 20 = 80 \text{ км/ч}
]
Ответ: Скорость скорого поезда 100 км/ч, скорость товарного поезда 80 км/ч.
