2x² +7x - 4 знак больше 0
Чтобы решить неравенство \(2x^2 + 7x - 4 > 0\), сначала найдем корни соответствующего уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\).
Для этого используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -4\).
Подставляем значения:
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81. \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Находим корни с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем значения:
\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \]
\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4. \]
Таким образом, корни уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\) это \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -4\).
Теперь необходимо определить знаки выражения \(2x^2 + 7x - 4\) на промежутках, определяемых корнями. Распределим промежутки:
- \(x < -4\)
- \(-4 < x < \frac{1}{2}\)
- \(x > \frac{1}{2}\)
Теперь проверим знак неравенства на каждом из интервалов:
Для \(x < -4\) (например, \(x = -5\)): \[ 2(-5)^2 + 7(-5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 > 0. \]
Для \(-4 < x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): \[ 2(0)^2 + 7(0) - 4 = -4 < 0. \]
Для \(x > \frac{1}{2}\) (например, \(x = 1\)): \[ 2(1)^2 + 7(1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 > 0. \]
Таким образом, неравенство \(2x^2 + 7x - 4 > 0\ выполняется на интервалах: \[ (-\infty, -4) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right). \] Ответ: \(x \in (-\infty, -4) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
