2x² +7x - 4 знак больше 0

Чтобы решить неравенство \(2x^2 + 7x - 4 > 0\), сначала найдем корни соответствующего уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\). Для этого используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -4\). Подставляем значения: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81. \] Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Находим корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \] Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4. \] Таким образом, корни уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\) это \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -4\). Теперь необходимо определить знаки выражения \(2x^2 + 7x - 4\) на промежутках, определяемых корнями. Распределим промежутки: 1. \(x < -4\) 2. \(-4 < x < \frac{1}{2}\) 3. \(x > \frac{1}{2}\) Теперь проверим знак неравенства на каждом из интервалов: 1. Для \(x < -4\) (например, \(x = -5\)): \[ 2(-5)^2 + 7(-5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 > 0. \] 2. Для \(-4 < x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): \[ 2(0)^2 + 7(0) - 4 = -4 < 0. \] 3. Для \(x > \frac{1}{2}\) (например, \(x = 1\)): \[ 2(1)^2 + 7(1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 > 0. \] Таким образом, неравенство \(2x^2 + 7x - 4 > 0\ выполняется на интервалах: \[ (-\infty, -4) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right). \] Ответ: \(x \in (-\infty, -4) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)\).