Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 20 , а сумма первых трех ее членов равна 26. Найдите первый и второй члены данной прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как \( a \), а знаменатель прогрессии как \( q \). Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: \( a \)
• Второй член: \( aq \)
• Третий член: \( aq^2 \)

По условию задачи имеем две информации:

1. Сумма первого и третьего членов: \[ a + aq^2 = 20 \] Это можно упростить: \[ a(1 + q^2) = 20 \quad (1) \]

2. Сумма первых трех членов: \[ a + aq + aq^2 = 26 \] Это можно упростить: \[ a(1 + q + q^2) = 26 \quad (2) \]

Теперь у нас есть две уравнения, которые мы можем решить.

Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = \frac{20}{1 + q^2} \quad (3) \]

Подставляем (3) в (2): \[ \frac{20}{1 + q^2}(1 + q + q^2) = 26 \]

Умножим обе части на \( 1 + q^2 \), чтобы избавиться от дроби: \[ 20(1 + q + q^2) = 26(1 + q^2) \]

Распределим: \[ 20 + 20q + 20q^2 = 26 + 26q^2 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 20 + 20q + 20q^2 - 26 - 26q^2 = 0 \] \[ -6q^2 + 20q - 6 = 0 \]

Умножим уравнение на -1 для упрощения: \[ 6q^2 - 20q + 6 = 0 \]

Теперь можно воспользоваться формулой квадратного уравнения: \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} \] \[ q = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 144}}{12} \] \[ q = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{12} \] \[ q = \frac{20 \pm 16}{12} \]

Таким образом, у нас два возможных значения для \( q \):

1. \[ q = \frac{36}{12} = 3 \] 2. \[ q = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Теперь подставим значения \( q \) обратно в (3) для нахождения \( a \).

Для \( q = 3 \): \[ a = \frac{20}{1 + 3^2} = \frac{20}{10} = 2 \]

Для \( q = \frac{1}{3} \): \[ a = \frac{20}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{20}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{20}{\frac{10}{9}} = 20 \cdot \frac{9}{10} = 18 \]

Таким образом, получили два решения:

1. \( (a, q) = (2, 3) \)
2. \( (a, q) = (18, \frac{1}{3}) \)

Теперь найдем первый и второй члены прогрессии:

1. При \( a = 2 \) и \( q = 3 \):

   • Первый член: \( 2 \)
   • Второй член: \( 2 \cdot 3 = 6 \)

2. При \( a = 18 \) и \( q = \frac{1}{3} \):

   • Первый член: \( 18 \)
   • Второй член: \( 18 \cdot \frac{1}{3} = 6 \)

Таким образом, для обоих случаев второй член будет \( 6 \).

Итог:

• Первый член прогрессии: \( 2 \) (при \( q = 3 \)) или \( 18 \) (при \( q = \frac{1}{3} \))
• Второй член прогрессии: \( 6 \) (для обоих случаев).