В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. То есть, два других угла — острые. Обозначим их как ( \alpha ) и ( \beta ).
По свойствам треугольника мы знаем, что сумма внутренних углов равна 180°. Так как один угол равен 90°, то:
[
\alpha + \beta = 90°
]
Внешние углы в треугольнике равны 180° минус соответствующие внутренние углы. Тогда внешние углы к углам ( \alpha ) и ( \beta ) равны:
- Внешний угол к ( \alpha ) равен ( 180° - \alpha )
- Внешний угол к ( \beta ) равен ( 180° - \beta )
Согласно условию задачи, разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна 70°. Поскольку ( \alpha ) и ( \beta ) — острые углы, то ( 180° - \alpha ) — наибольший внешний угол и ( 180° - \beta ) — наименьший внешний угол, если ( \alpha < \beta ).
Таким образом, мы можем записать:
[
(180° - \alpha) - (180° - \beta) = 70°
]
Упростим уравнение:
[
\beta - \alpha = 70°
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( \alpha + \beta = 90° )
- ( \beta - \alpha = 70° )
Решим систему. Из первого уравнения выразим ( \beta ):
[
\beta = 90° - \alpha
]
Подставим это значение во второе уравнение:
[
(90° - \alpha) - \alpha = 70°
]
Упростим уравнение:
[
90° - 2\alpha = 70°
]
Теперь выразим ( \alpha ):
[
2\alpha = 90° - 70°
]
[
2\alpha = 20°
]
[
\alpha = 10°
]
Теперь найдем ( \beta ):
[
\beta = 90° - \alpha = 90° - 10° = 80°
]
Таким образом, острые углы треугольника:
[
\alpha = 10°, \quad \beta = 80°
]
