В прямоугольном треугольнике разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна 70⁰. найдите острые углы этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. То есть, два других угла — острые. Обозначим их как \( \alpha \) и \( \beta \).
По свойствам треугольника мы знаем, что сумма внутренних углов равна 180°. Так как один угол равен 90°, то:
\[ \alpha + \beta = 90° \]
Внешние углы в треугольнике равны 180° минус соответствующие внутренние углы. Тогда внешние углы к углам \( \alpha \) и \( \beta \) равны:
- Внешний угол к \( \alpha \) равен \( 180° - \alpha \)
- Внешний угол к \( \beta \) равен \( 180° - \beta \)
Согласно условию задачи, разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна 70°. Поскольку \( \alpha \) и \( \beta \) — острые углы, то \( 180° - \alpha \) — наибольший внешний угол и \( 180° - \beta \) — наименьший внешний угол, если \( \alpha < \beta \).
Таким образом, мы можем записать:
\[ (180° - \alpha) - (180° - \beta) = 70° \]
Упростим уравнение:
\[ \beta - \alpha = 70° \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( \alpha + \beta = 90° \)
- \( \beta - \alpha = 70° \)
Решим систему. Из первого уравнения выразим \( \beta \):
\[ \beta = 90° - \alpha \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ (90° - \alpha) - \alpha = 70° \]
Упростим уравнение:
\[ 90° - 2\alpha = 70° \]
Теперь выразим \( \alpha \):
\[ 2\alpha = 90° - 70° \] \[ 2\alpha = 20° \] \[ \alpha = 10° \]
Теперь найдем \( \beta \):
\[ \beta = 90° - \alpha = 90° - 10° = 80° \]
Таким образом, острые углы треугольника:
\[ \alpha = 10°, \quad \beta = 80° \]
