Заданна функция y=x^2-2x а) y=(-3) б) y=(1/2) в) y=(0, 1)
Для данного уравнения функции \( y = x^2 - 2x \) мы можем исследовать его на наличие корней для разных значений \( y \).
а) \( y = -3 \)
Мы должны решить уравнение: \[ x^2 - 2x + 3 = 0 \]
Вычислим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \]
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, функция не пересекает уровень \( y = -3 \).
б) \( y = \frac{1}{2} \)
Решаем уравнение: \[ x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0 \]
Вычислим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + 2 = 6 \]
Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два действительных корня. Они найдутся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Таким образом, у функции есть два действительных значения \( x \), при которых \( y = \frac{1}{2} \).
в) \( y \) в диапазоне \( (0, 1) \)
Чтобы выяснить, для каких значений \( x \) функция принимает значения в интервале \( (0, 1) \), решим два неравенства:
- \( y > 0 \): \[ x^2 - 2x > 0 \] \[ x(x - 2) > 0 \]
Корни: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). По результатам тестирования интервалов, функция положительна на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).
- \( y < 1 \): \[ x^2 - 2x < 1 \] \[ x^2 - 2x - 1 < 0 \]
Вычислим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \]
Корни: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \]
По тестированию интервалов получаем, что функция \( y < 1 \) на интервале \( (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \).
Теперь мы можем объединить результаты. Для того чтобы функция принимала значения в интервале \( (0, 1) \), мы рассматриваем пересечение:
- Функция положительна на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).
- Функция меньше 1 на интервале \( (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \).
Так как \( 1 - \sqrt{2} \) примерно равно \( -0.414 \) и \( 1 + \sqrt{2} \) примерно равно \( 2.414 \), пересечение \( (0, 1) \) будет в пределах: \[ (0, 1) \cap (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) = (0, 1) \]
Таким образом, функция \( y \) принимает значения в интервале \( (0, 1) \) на интервале \( (0, 1) \).
