Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ), при этом пусть ( a ) — это меньшая сторона. Согласно условию, одна сторона в 3 раза меньше другой, то есть:
[
a = \frac{1}{3} b
]
Также известно, что диагональ ( d ) прямоугольника равна 20 метров. По теореме Пифагора для прямоугольника выполняется следующее уравнение:
[
d^2 = a^2 + b^2
]
Подставляем значение диагонали:
[
20^2 = a^2 + b^2
]
[
400 = a^2 + b^2
]
Теперь подставим выражение для ( a ):
[
b = 3a
]
Подставим ( b ) в уравнение для диагонали:
[
400 = a^2 + (3a)^2
]
[
400 = a^2 + 9a^2
]
[
400 = 10a^2
]
Решим это уравнение для ( a^2 ):
[
a^2 = \frac{400}{10} = 40
]
[
a = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10}
]
Теперь у нас есть стороны прямоугольника ( a = 2\sqrt{10} ) м и ( b = 6\sqrt{10} ) м.
Чтобы найти площадь ( S ) прямоугольника, используем формулу:
[
S = a \cdot b
]
[
S = (2\sqrt{10}) \cdot (6\sqrt{10}) = 12 \cdot 10 = 120 \text{ м}^2
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны ( 2\sqrt{10} ) м и ( 6\sqrt{10} ) м, а площадь равна ( 120 ) м².
