найдите наименьшее двузначное число, разность цифр которого равна 6, а сумма квадратов цифр составляет 50

Обозначим двузначное число как \(10a + b\), где \(a\) — десятки, а \(b\) — единицы. По условию задачи имеем два уравнения:

1. Разность цифр: \(a - b = 6\)
2. Сумма квадратов цифр: \(a^2 + b^2 = 50\)

Из первого уравнения можем выразить \(b\): \[ b = a - 6 \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ a^2 + (a - 6)^2 = 50 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (a^2 - 12a + 36) = 50 \] Соберем все в одно уравнение: \[ 2a^2 - 12a + 36 = 50 \] Переносим 50 на другую сторону: \[ 2a^2 - 12a - 14 = 0 \] Упростим уравнение, разделив на 2: \[ a^2 - 6a - 7 = 0 \] Теперь найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] Корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 8}{2} \] Таким образом, получаем два решения:

1. \(a = \frac{14}{2} = 7\)
2. \(a = \frac{-2}{2} = -1\) (это решение не подходит, так как \(a\) должно быть положительным)

Подставим \(a = 7\) в уравнение для \(b\): \[ b = 7 - 6 = 1 \] Таким образом, двузначное число: \[ 10a + b = 10 \cdot 7 + 1 = 71 \]

Проверим условия задачи:

1. Разность цифр: \(7 - 1 = 6\) (выполняется)
2. Сумма квадратов: \(7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50\) (выполняется)

Следовательно, наименьшее двузначное число, удовлетворяющее данным условиям, — это 71.