Решите систему уравнений: { 3 x 2 + 7 y 2 = 31 , 7 x 2 − 3 y 2 = − 5 . { 3x 2 +7y 2 =31, 7x 2 −3y 2 =−5. Решением системы уравнений являются пары чисел (введите только…
Решите систему уравнений: { 3 x 2 + 7 y 2 = 31 , 7 x 2 − 3 y 2 = − 5 . { 3x 2 +7y 2 =31, 7x 2 −3y 2 =−5. Решением системы уравнений являются пары чисел (введите только необходимое количество различных решений, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется): ( ( ; ; ) , ), ( ( ; ; ) , ), ( ( ; ; ) , ), ( ( ; ; ) . ).
Для решения заданной системы уравнений:
\[ \begin{cases} 3x^2 + 7y^2 = 31 \\ 7x^2 - 3y^2 = -5 \end{cases} \]
- Умножим первое уравнение на 3 и второе на 7:
\[ \begin{cases} 9x^2 + 21y^2 = 93 \\ 49x^2 - 21y^2 = -35 \end{cases} \]
- Складываем оба уравнения:
\[ (9x^2 + 21y^2) + (49x^2 - 21y^2) = 93 - 35 \]
Это упрощается до:
\[ 58x^2 = 58 \]
- Разделим обе стороны на 58:
\[ x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -1 \]
- Теперь подставим \(x = 1\) в первое уравнение для нахождения \(y\):
\[ 3(1)^2 + 7y^2 = 31 \Rightarrow 3 + 7y^2 = 31 \]
\[ 7y^2 = 28 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = 2 \text{ или } y = -2 \]
Таким образом, для \(x = 1\) получаем два решения: \((1, 2)\) и \((1, -2)\).
- Теперь подставим \(x = -1\):
\[ 3(-1)^2 + 7y^2 = 31 \Rightarrow 3 + 7y^2 = 31 \]
Аналогично, получаем:
\[ 7y^2 = 28 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = 2 \text{ или } y = -2 \]
Таким образом, для \(x = -1\) получаем два решения: \((-1, 2)\) и \((-1, -2)\).
Итак, все решения системы уравнений:
- \((1, 2)\)
- \((1, -2)\)
- \((-1, 2)\)
- \((-1, -2)\)
Записываем их в требуемом формате:
\[ ((1; 2),), ((1; -2),), ((-1; 2),), ((-1; -2). \]
