В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 14, а боковые стороны по 10. Найдите площадь круга описанного около трапеции.

Для нахождения площади круга, описанного около равнобедренной трапеции, сначала нужно найти радиус описанной окружности.

1. Запишем параметры трапеции:

   • Нижнее основание \( a = 14 \)
   • Верхнее основание \( b = 2 \)
   • Боковые стороны \( c = d = 10 \)

2. Найдем высоту трапеции. Для этого можно провести высоты из концов верхнего основания к нижнему.

   Обозначим высоту \( h \). Находим длину отрезка, который соединяет проекции концов верхнего основания на нижнее основание. Так как трапеция равнобедренная, то длина этого отрезка равна \( a - b = 14 - 2 = 12 \). Делим его пополам: \( 6 \) — это длина отрезка от конца верхнего основания до проекции на нижнее основание.

3. По теореме Пифагора для одного из треугольников: \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 64 \rightarrow h = 8 \]

4. Теперь найдем радиус описанной окружности \( R \) для равнобедренной трапеции. Формула для радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( S \) — площадь трапеции, которая вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(14 + 2) \cdot 8}{2} = \frac{16 \cdot 8}{2} = 64 \]

5. Теперь подставим все известные значения в формулу для радиуса: \[ R = \frac{(14 \cdot 2 \cdot 10)}{4 \cdot 64} = \frac{280}{256} = \frac{35}{32} \]

6. Теперь найдем площадь круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{35}{32}\right)^2 = \pi \cdot \frac{1225}{1024} \]

Таким образом, площадь круга, описанного около равнобедренной трапеции, равна: \[ S_{\text{круга}} = \frac{1225\pi}{1024} \]