В ящике 30 деталей, но известно, что шесть из них со скрытым дефектом. Из ящика случайным образом достают 7 деталей. Во сколько раз вероятность события "выпадет ровно 2 дефектные…
В ящике 30 деталей, но известно, что шесть из них со скрытым дефектом. Из ящика случайным образом достают 7 деталей. Во сколько раз вероятность события "выпадет ровно 2 дефектные детали" больше вероятности события "выпадет ровно 3 дефектные детали"?
Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности сочетаний.
Обозначим:
- \( N = 30 \) — общее количество деталей,
- \( K = 6 \) — количество дефектных деталей,
- \( n = 7 \) — количество извлекаемых деталей.
Сначала найдем вероятность того, что выпадет ровно 2 дефектные детали.
Вероятность того, что выпало ровно 2 дефектные детали и 5 исправных можно вычислить по формуле:
\[ P(2 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{K}{2} \cdot \binom{N-K}{n-2}}{\binom{N}{n}}. \]
Подставляем значения:
\[ P(2 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{24}{5}}{\binom{30}{7}}. \]
Теперь найдем вероятность того, что выпадет ровно 3 дефектные детали:
\[ P(3 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{K}{3} \cdot \binom{N-K}{n-3}}{\binom{N}{n}}. \]
Подставляем значения:
\[ P(3 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{24}{4}}{\binom{30}{7}}. \]
Теперь найдем отношения двух вероятностей:
\[ \frac{P(2 \text{ дефектные})}{P(3 \text{ дефектные})} = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{24}{5}}{\binom{6}{3} \cdot \binom{24}{4}}. \]
Сначала найдем биномиальные коэффициенты:
\[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15, \]
\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20, \]
\[ \binom{24}{5} = \frac{24!}{5!(24-5)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 42504, \]
\[ \binom{24}{4} = \frac{24!}{4!(24-4)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10626. \]
Теперь подставляем всё в отношение:
\[ \frac{P(2 \text{ дефектные})}{P(3 \text{ дефектные})} = \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626}. \]
Сократим:
\[ = \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626} = \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626} = \frac{15 \cdot 21252}{20 \cdot 10626} = \frac{15 \cdot 21252}{20 \cdot 10626} = \frac{3 \cdot 21252}{4 \cdot 10626} = \frac{3}{4} \cdot \frac{21252}{10626} = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5. \]
Таким образом, вероятность события "выпадет ровно 2 дефектные детали" в \(1.5\) раз больше вероятности события "выпадет ровно 3 дефектные детали".
