Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности сочетаний.
Обозначим:
- ( N = 30 ) — общее количество деталей,
- ( K = 6 ) — количество дефектных деталей,
- ( n = 7 ) — количество извлекаемых деталей.
Сначала найдем вероятность того, что выпадет ровно 2 дефектные детали.
Вероятность того, что выпало ровно 2 дефектные детали и 5 исправных можно вычислить по формуле:
[
P(2 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{K}{2} \cdot \binom{N-K}{n-2}}{\binom{N}{n}}.
]
Подставляем значения:
[
P(2 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{24}{5}}{\binom{30}{7}}.
]
Теперь найдем вероятность того, что выпадет ровно 3 дефектные детали:
[
P(3 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{K}{3} \cdot \binom{N-K}{n-3}}{\binom{N}{n}}.
]
Подставляем значения:
[
P(3 \text{ дефектные}) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{24}{4}}{\binom{30}{7}}.
]
Теперь найдем отношения двух вероятностей:
[
\frac{P(2 \text{ дефектные})}{P(3 \text{ дефектные})} = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{24}{5}}{\binom{6}{3} \cdot \binom{24}{4}}.
]
Сначала найдем биномиальные коэффициенты:
[
\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15,
]
[
\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20,
]
[
\binom{24}{5} = \frac{24!}{5!(24-5)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 42504,
]
[
\binom{24}{4} = \frac{24!}{4!(24-4)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10626.
]
Теперь подставляем всё в отношение:
[
\frac{P(2 \text{ дефектные})}{P(3 \text{ дефектные})} = \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626}.
]
Сократим:
[
= \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626} = \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626} = \frac{15 \cdot 21252}{20 \cdot 10626}
= \frac{15 \cdot 21252}{20 \cdot 10626} = \frac{3 \cdot 21252}{4 \cdot 10626} = \frac{3}{4} \cdot \frac{21252}{10626} = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5.
]
Таким образом, вероятность события "выпадет ровно 2 дефектные детали" в (1.5) раз больше вероятности события "выпадет ровно 3 дефектные детали".
