Для нахождения площади круга, вписанного в ромб, нужно сначала найти радиус этого круга.
Ромб можно представить как две равные треугольные половинки, одна из которых имеет угол 30 градусов. Площадь ромба можно выразить через основание и высоту. Высота ромба (h) может быть найдена через сторону ромба (a) и угол (α):
[
h = a \cdot \sin(\alpha)
]
Также, площадь ромба (S) равна произведению его стороны на высоту:
[
S = a \cdot h
]
Принимая во внимание, что площадь ромба равна 40, можем записать:
[
40 = a \cdot (a \cdot \sin(30^\circ)) \quad \text{где } \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
]
Отсюда:
[
40 = a \cdot \left(a \cdot \frac{1}{2}\right)
]
[
40 = \frac{a^2}{2}
]
Умножив обе стороны на 2, получаем:
[
80 = a^2
]
Следовательно, сторона ромба:
[
a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
]
Радиус вписанного круга ( r ) в ромбе можно выразить через его площадь и периметр:
[
r = \frac{S}{P}
]
Периметр ромба (P) равен 4a:
[
P = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}
]
Теперь можем найти радиус:
[
r = \frac{40}{16\sqrt{5}} = \frac{40}{16\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}
]
Теперь находим площадь ( A ) круга:
[
A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{5}{4} = \frac{5\pi}{4}
]
Таким образом, площадь круга, вписанного в ромб, равна:
[
\frac{5\pi}{4}
]
