составить уравнение касательной и уровнение нормально и графику функцийй y=x³+2x-1, x0=2
Для того чтобы найти уравнение касательной и нормали к графику функции \( y = x^3 + 2x - 1 \) в точке \( x_0 = 2 \), выполните следующие шаги:
Найдите значение функции в точке \( x_0 = 2 \): \[ y(2) = 2^3 + 2 \cdot 2 - 1 = 8 + 4 - 1 = 11 \] Таким образом, точка касания \( (2, 11) \).
Найдите производную функции для определения углового коэффициента касательной: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x - 1) = 3x^2 + 2 \]
Подставьте \( x_0 \) в производную, чтобы найти угловой коэффициент: \[ y'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 12 + 2 = 14 \] Угловой коэффициент касательной в точке \( (2, 11) \) равен 14.
Составьте уравнение касательной. Уравнение касательной имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( m \) — угловой коэффициент, \( (x_0, y_0) \) — точка касания. Подставляем значения: \[ y - 11 = 14(x - 2) \] Упрощаем: \[ y - 11 = 14x - 28 \implies y = 14x - 17 \]
Составьте уравнение нормали. Угловой коэффициент нормали равен отрицательному обратному значению углового коэффициента касательной: \[ m_{\text{нормали}} = -\frac{1}{14} \] Уравнение нормали также имеет вид: \[ y - y_0 = m_{\text{нормали}}(x - x_0) \] Подставляем значения: \[ y - 11 = -\frac{1}{14}(x - 2) \] Упрощаем: \[ y - 11 = -\frac{1}{14}x + \frac{2}{14} \implies y = -\frac{1}{14}x + 11 + \frac{1}{7} \] Можно привести к общему знаменателю: \[ y = -\frac{1}{14}x + \frac{78}{14} = -\frac{1}{14}x + \frac{39}{7} \]
Таким образом, у нас есть:
- Уравнение касательной: \( y = 14x - 17 \)
- Уравнение нормали: \( y = -\frac{1}{14}x + \frac{39}{7} \)
