x²+y²<=16, x+y>= -2 решить систему
Чтобы решить систему неравенств \(x^2 + y^2 \leq 16\) и \(x + y \geq -2\), нужно определить область, которая удовлетворяет обоим неравенствам.
Первое неравенство \(x^2 + y^2 \leq 16\) описывает круг радиусом 4 с центром в начале координат (0,0). То есть, все точки, находящиеся внутри или на границе этого круга, удовлетворяют первому условию.
Второе неравенство \(x + y \geq -2\) описывает область выше или на прямой \(x + y = -2\). Это прямая, проходящая через точки (-2, 0) и (0, -2), и все точки выше этой прямой удовлетворяют этому неравенству.
Теперь найдем область, которая удовлетворяет обоим условиям:
- Построим круг с радиусом 4. Он будет иметь границу \(x^2 + y^2 = 16\).
- Построим прямую \(x + y = -2\) и закрасим область выше этой прямой.
Чтобы найти точки пересечения, можно решить уравнение:
\[ x + y = -2 \] \[ x^2 + y^2 = 16 \]
Подставим \(y = -2 - x\) в уравнение круга:
\[ x^2 + (-2 - x)^2 = 16 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (4 + 4x + x^2) = 16 \] \[ 2x^2 + 4x + 4 - 16 = 0 \] \[ 2x^2 + 4x - 12 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 6 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 \]
Решения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = -1 \pm \sqrt{7} \]
Таким образом, имеются два значения для \(x\):
\[ x_1 = -1 + \sqrt{7}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{7} \]
Теперь найдем соответствующие \(y\):
\[ y_1 = -2 - x_1 = -1 - \sqrt{7}, \quad y_2 = -2 - x_2 = -1 + \sqrt{7} \]
Итак, точки пересечения:
- \((-1 + \sqrt{7}, -1 - \sqrt{7})\)
- \((-1 - \sqrt{7}, -1 + \sqrt{7})\)
Теперь итоговое решение: область, удовлетворяющая системе неравенств, будет включать все точки внутри круга радиусом 4 и выше прямой \(x + y = -2\), включая границы.
В заключение, вы можете визуализировать эту систему неравенств с помощью графиков, чтобы лучше понять, как выглядит область решения.
