В прямоугольном треугольнике обозначим угол ( A ) как один из острых углов, угол ( B ) — второй острый угол, а угол ( C ) — прямой угол. У нас есть биссектрисса угла ( C ) (прямого угла) и угол между ней и гипотенузой равен 105 градусов.
Так как угол ( C ) равен 90 градусов, биссектрисса угла ( C ) делит его на два угла по 45 градусов. Следовательно, угол между биссектрисой и гипотенузой можно выразить следующим образом:
[
\text{Угол между биссектрисой и гипотенузой} = \text{Угол } A + 45^\circ
]
Дано, что этот угол равен 105 градусам:
[
A + 45^\circ = 105^\circ
]
Решим это уравнение:
[
A = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ
]
Теперь мы знаем, что ( A = 60^\circ ). Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, можем найти угол ( B ):
[
A + B + C = 180^\circ
]
[
60^\circ + B + 90^\circ = 180^\circ
]
[
B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ
]
Таким образом, меньший из острых углов прямоугольного треугольника равен:
[
\boxed{30^\circ}
]
